Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma série de potências centrada em
para a função
. Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a definição de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno,
, pode ser expandida em uma série de potências usando sua definição em série de Taylor:
No nosso caso, temos
, então substituímos
por
:
Agora, multiplicamos essa série por
para obter a série de potência para
:
Passo 3
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Critério da Razão, que nos ajuda a encontrar onde a série converge.
Consideramos a série geral:
Aplicando o Critério da Razão:
Simplificando:
Como esse limite é sempre 0 para qualquer valor de
, a série converge para todo
. Portanto, o raio de convergência
é infinito.
Resposta
A série de potências centrada em
para a função
é:
O raio de convergência é
, e o intervalo de convergência é
.
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Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: e)
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, e determine seu raio e intervalo de convergência: h)