Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: g) f(x) = x^2 cosh(x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma série de potências centrada em para a função . Além disso, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a definição de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno, , pode ser expandida em uma série de potências usando sua definição em série de Taylor:
No nosso caso, temos , então substituímos por :
Agora, multiplicamos essa série por para obter a série de potência para :

Passo 3

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Critério da Razão, que nos ajuda a encontrar onde a série converge.
Consideramos a série geral:
Aplicando o Critério da Razão:
Simplificando:
Como esse limite é sempre 0 para qualquer valor de , a série converge para todo . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de potências centrada em para a função é:
O raio de convergência é , e o intervalo de convergência é .

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