Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: h) f(x) = cos^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma série de potências centrada em para a função e, além disso, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e algumas identidades trigonométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que pode simplificar a expressão de . Sabemos que:
Essa identidade vai facilitar, porque agora podemos trabalhar com a série de potências da função , que já conhecemos.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a série de potências para centrada em 0. A série de Taylor para o cosseno é:
Substituindo por nessa série, temos a série de :

Passo 4

Voltando à nossa expressão para :
Agora, substituímos pela série que acabamos de encontrar:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, nossa série de potências para está pronta:
Para encontrar o raio de convergência, vamos analisar o termo geral da série:
Podemos usar o critério da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 6

Aplicando o critério da razão:
Como vai para o infinito, o limite tende a zero para qualquer valor de . Isso significa que a série converge para todo .

Passo 7

Então, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências centrada em para é:
O raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é .

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</body></html>
Encontre uma série de potências para representar a função f(x) = (e^x - 1) / x e, por derivação termo a termo, prove que .
<html><head></head><body><div>Encontre uma série de potências, centrada em <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.186ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.345ex” height=“1.692ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -666 2362.6 748”><title>a = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D44E” d=“M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(806.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1862.6,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, e determine seu raio e intervalo de convergência: c) <span class="math-inline ">
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