Prove as igualdades abaixo: f) sumn=1^infty 23^n-1=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma da série infinita é igual a 3. Isso está ligado ao estudo de séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=1^infty 23^n-1 = 2 sumn=1^infty (13)^n-1 , onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, temos . Vamos reescrever isso para encaixar na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, lembrando da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Essa fórmula só funciona se , o que, no nosso caso, é verdade porque .

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores que identificamos:
S = 21 - 13 = 223 = 2 times 32 = 3

Resposta

3

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Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: e) f(x) = (1+x) ln(1+x)