Prove as igualdades abaixo: f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma da série infinita
é igual a 3. Isso está ligado ao estudo de séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, temos
. Vamos reescrever isso para encaixar na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, lembrando da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Essa fórmula só funciona se
, o que, no nosso caso, é verdade porque
.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com os valores que identificamos:
Resposta
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Prove as igualdades abaixo: c)
Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: f)
Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: g)
Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: e)