Encontre uma série de potências para representar a função
e, por derivação termo a termo, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede pra encontrar uma série de potências para representar a função
. Depois, usando derivação termo a termo, precisamos provar que a soma infinita
é igual a 1. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências, a função exponencial, e como diferenciar séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função exponencial
. Sabemos que:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo
elevado a diferentes potências divididas por
.
Passo 3
Agora, queremos expressar
. Vamos começar subtraindo 1 da série de
:
Perceba que o termo
é 1, então subtraímos esse termo e começamos a soma a partir de
.
Passo 4
Agora, vamos dividir essa série por
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos reescrever o índice da soma para facilitar a derivação. Vamos fazer uma mudança de variável: deixe
. Assim, quando
,
, e a soma fica:
Para simplificar a notação, vamos retornar a
em vez de
:
Passo 6
Agora, queremos derivar
termo a termo. A derivada de
é
, então:
Simplificando um pouco mais:
Passo 7
Para encontrar a soma que nos interessa, vamos avaliar a derivada em
:
Observe que
para qualquer
.
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Primeiramente, precisamos calcular
e depois sua derivada para encontrar
.
Sabemos que:
Vamos derivar essa função usando a regra do quociente:
Agora, avaliando em
:
Resposta
Assim, mostramos que: