Encontre uma série de potências para representar a função f(x)=e^x-1x e, por derivação termo a termo, prove que sumn=1^infty n(n+1)!=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede pra encontrar uma série de potências para representar a função . Depois, usando derivação termo a termo, precisamos provar que a soma infinita é igual a 1. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências, a função exponencial, e como diferenciar séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função exponencial e^x = sumn=0^infty x^nn! . Sabemos que:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo elevado a diferentes potências divididas por .

Passo 3

Agora, queremos expressar e^x - 1 = sumn=0^infty x^nn! - 1 = sumn=1^infty x^nn! . Vamos começar subtraindo 1 da série de :
Perceba que o termo é 1, então subtraímos esse termo e começamos a soma a partir de .

Passo 4

Agora, vamos dividir essa série por f(x) = e^x - 1x = 1x sumn=1^infty x^nn! = sumn=1^infty x^n-1n! :
f(x) = sumn=1^infty x^n-1n!
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos reescrever o índice da soma para facilitar a derivação. Vamos fazer uma mudança de variável: deixe f(x) = summ=0^infty x^m(m+1)! . Assim, quando f(x) = sumn=0^infty x^n(n+1)! , , e a soma fica:
Para simplificar a notação, vamos retornar a em vez de :

Passo 6

Agora, queremos derivar f'(x) = sumn=0^infty n x^n-1(n+1)! termo a termo. A derivada de f'(x) = sumn=0^infty n(n+1)! x^n-1 é , então:
Simplificando um pouco mais:

Passo 7

Para encontrar a soma que nos interessa, vamos avaliar a derivada em f'(1) = sumn=0^infty n(n+1)! cdot 1^n-1 = sumn=0^infty n(n+1)! :
Observe que para qualquer .

Passo 8

Agora, vamos calcular f(x) = e^x - 1x . Primeiramente, precisamos calcular f'(x) = x cdot e^x - (e^x - 1)x^2 = (x e^x - e^x + 1)x^2 = (x - 1) e^x + 1x^2 e depois sua derivada para encontrar f'(1) = (1 - 1) e^1 + 11^2 = 0 + 11 = 1 .
Sabemos que:
Vamos derivar essa função usando a regra do quociente:
Agora, avaliando em :

Resposta

Assim, mostramos que:
sumn=1^infty n(n+1)! = 1

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