Encontre uma série de potências, centrada em , e determine seu raio e intervalo de convergência: d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma série de potências centrada em para a função . Além disso, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o método de expansão em série geométrica e analisar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. A gente tem:
Podemos fatorar o denominador para isolar a parte que se assemelha a , que é a forma básica da série geométrica. Vamos reescrever o denominador:
Assim, a função fica:
Passo 3
Agora, podemos usar a série geométrica para expandir , onde . A série geométrica é:
Substituindo de volta na express��o de :
Passo 4
Então, a série de potências centrada em para a função é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência. Para isso, usamos o critério da razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.
Consideramos o limite:
Onde . Calculando:
Então, o limite é:
Para a série convergir, precisamos que :
Portanto, o raio de convergência é .
Passo 6
Finalmente, o intervalo de convergência é todos os valores de tais que . Ou seja:
Resposta
A série de potências centrada em para é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .