Usando séries de potências, prove que: c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar que o limite
usando séries de potências. Isso envolve conhecimentos de cálculo de limites e expansões em séries de potências, que nos ajudam a simplificar expressões complicadas quando
está próximo de zero.
Passo 2
Vamos começar expandindo a função em uma série de potências. A série de Taylor para em torno de
é:
Para simplificar, vamos considerar apenas os dois primeiros termos da série, já que
está tendendo a zero e termos de ordem superior se tornam muito pequenos:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Vamos distribuir o
:
Passo 4
Simplificamos os termos semelhantes:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir de volta na fração do limite:
Simplificando o denominador:
Então, a fração fica:
Passo 6
Dividimos numerador e denominador por
:
Agora, quando
tende a zero, os termos
e
também tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:
Resposta
Portanto, o limite é igual a 1.