Usando séries de potências, prove que: c) lim x 0 (1+x) sen x-xx sen x=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar que o limite
usando séries de potências. Isso envolve conhecimentos de cálculo de limites e expansões em séries de potências, que nos ajudam a simplificar expressões complicadas quando lim x 0 (1+x)sen x -xx sen x = 1 está próximo de zero.

Passo 2

Vamos começar expandindo a função em uma série de potências. A série de Taylor para em torno de sen x = x - x^33! + x^55! - dots é:
Para simplificar, vamos considerar apenas os dois primeiros termos da série, já que sen x approx x - x^36 está tendendo a zero e termos de ordem superior se tornam muito pequenos:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Vamos distribuir o (1+x)sen x - x approx (1+x)(x - x^36) - x :
= (1)(x - x^36) + x(x - x^36) - x
= x - x^36 + x^2 - x^46 - x

Passo 4

Simplificamos os termos semelhantes:
x - x = 0
- x^36 + x^2 - x^46
Então, a expressão fica:
x^2 - x^36 - x^46

Passo 5

Agora, vamos substituir de volta na fração do limite:
Simplificando o denominador:
(1+x)sen x -xx sen x approx x^2 - x^36 - x^46x (x - x^36)
Então, a fração fica:
x (x - x^36) = x^2 - x^46

Passo 6

Dividimos numerador e denominador por 1 - x6 - x^261 - x^26 :
1 - 0 - 01 - 0 = 1
Agora, quando tende a zero, os termos e também tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

Portanto, o limite é igual a 1.

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