Encontre a soma da série: c) sumn=0^infty(-1)^n pi^2 n+14^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Vamos encontrar a soma da série infinita . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de séries de potências e séries de Taylor, que são ferramentas matemáticas usadas para representar funções como somas infinitas de termos.

Passo 2

Primeiro, observamos que a série possui termos alternados devido ao fator . Isso indica que a série pode estar relacionada a funções trigonométricas que possuem séries de Taylor alternadas, como o seno ou o cosseno.

Passo 3

Conhecemos a série de Taylor para a função seno, que é dada por:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Comparando com a nossa série original, percebemos que existe uma semelhança na estrutura dos termos.

Passo 4

Na série que queremos somar, temos sumn=0^infty (-1)^n (pi4)^2n+1(2n+1)! . Podemos reescrever essa parte como . Assim, nossa série fica:
Isso se assemelha exatamente à série de Taylor do seno, onde .

Resposta

Portanto, a soma da série é:
sin(pi4) = raiz22

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