Encontre a soma da série: c)
Passo 1
Vamos encontrar a soma da série infinita
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de séries de potências e séries de Taylor, que são ferramentas matemáticas usadas para representar funções como somas infinitas de termos.
Passo 2
Primeiro, observamos que a série possui termos alternados devido ao fator
. Isso indica que a série pode estar relacionada a funções trigonométricas que possuem séries de Taylor alternadas, como o seno ou o cosseno.
Passo 3
Conhecemos a série de Taylor para a função seno, que é dada por:
Comparando com a nossa série original, percebemos que existe uma semelhança na estrutura dos termos.
Passo 4
Na série que queremos somar, temos
. Podemos reescrever essa parte como
. Assim, nossa série fica:
Isso se assemelha exatamente à série de Taylor do seno, onde
.
Resposta
Portanto, a soma da série é: