Encontre a série de potências da função e determine seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a série de potências da função e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a técnica de expansão em série de potências e alguns conceitos de análise de séries.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a série de potências é uma forma de representar funções matemáticas como a soma de termos que são potências de . Nesse caso, queremos expressar nessa forma.
Passo 3
Sabemos que a derivada de é . Vamos usar essa derivada para encontrar a série de potências.
Passo 4
A expressão pode ser expandida usando a série binomial. A fórmula geral para a expansão binomial é:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para encontrar a série de , integramos a série que encontramos:
Como , a constante de integração é zero.
Passo 6
Portanto, a série de potências de fica:
Passo 7
Agora, para determinar o raio de convergência dessa série, usamos o teste da razão. Calculando o limite:
Simplificando, encontramos que o limite é . Para que a série convirja, precisamos que .