Encontre a série de potências da função f(x) = arcsen(x) e determine seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar a série de potências da função e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a técnica de expansão em série de potências e alguns conceitos de análise de séries.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a série de potências é uma forma de representar funções matemáticas como a soma de termos que são potências de . Nesse caso, queremos expressar nessa forma.

Passo 3

Sabemos que a derivada de é . Vamos usar essa derivada para encontrar a série de potências.

Passo 4

A expressão pode ser expandida usando a série binomial. A fórmula geral para a expansão binomial é:
Simplificando, temos:

Passo 5

Para encontrar a série de , integramos a série que encontramos:
Como , a constante de integração é zero.

Passo 6

Portanto, a série de potências de fica:

Passo 7

Agora, para determinar o raio de convergência dessa série, usamos o teste da razão. Calculando o limite:
Simplificando, encontramos que o limite é . Para que a série convirja, precisamos que .

Resposta

A série de potências de é:
E o raio de convergência dessa série é .

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