Em estatística a função
é denominada função Erro. Encontre a série de Maclaurin da função Erro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin da função Erro, que é definida por
Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente séries de Taylor (ou Maclaurin) e integração. Para resolver, vamos precisar expandir a função dentro da integral em uma série e então integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É basicamente uma expansão em série de Taylor centrada em zero. Para a função
, podemos escrever sua série de Maclaurin. Sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Aqui, nosso
é
. Então, substituindo:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa série na integral que define a função Erro:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (isso é válido sob certas condições, que são satisfeitas aqui):
Passo 4
Vamos agora resolver a integral
. A antiderivada de
é
. Avaliando de 0 a x:
Passo 5
Substituindo de volta na série, temos:
Simplificando, a série de Maclaurin da função Erro fica:
Resposta
A série de Maclaurin da função Erro é
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