Em estatística a função erf(x)=2raizpi integral0^t e^-t^2 dt é denominada função Erro. Encontre a série de Maclaurin da função Erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin da função Erro, que é definida por
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 , dt
Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente séries de Taylor (ou Maclaurin) e integração. Para resolver, vamos precisar expandir a função dentro da integral em uma série e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É basicamente uma expansão em série de Taylor centrada em zero. Para a função e^-t^2, podemos escrever sua série de Maclaurin. Sabemos que a série de Maclaurin para e^u é:
e^u = sumn=0^infty u^nn!
Aqui, nosso u é -t^2. Então, substituindo:
e^-t^2 = sumn=0^infty (-t^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n t^2nn!

Passo 3

Agora, vamos substituir essa série na integral que define a função Erro:
erf(x) = 2raizpi integral0^x ( sumn=0^infty (-1)^n t^2nn! ) dt
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (isso é válido sob certas condições, que são satisfeitas aqui):
erf(x) = 2raizpi sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^x t^2n , dt

Passo 4

Vamos agora resolver a integral integral0^x t^2n , dt. A antiderivada de t^2n é t^2n+12n+1. Avaliando de 0 a x:
integral0^x t^2n , dt = [ t^2n+12n+1 ]0^x = x^2n+12n+1

Passo 5

Substituindo de volta na série, temos:
erf(x) = 2raizpi sumn=0^infty (-1)^nn! cdot x^2n+12n+1
Simplificando, a série de Maclaurin da função Erro fica:
erf(x) = 2raizpi sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n! (2n+1)

Resposta

A série de Maclaurin da função Erro é
erf(x) = 2raizpi sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1n! (2n+1)

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