Em estatística a função é denominada função Erro. Encontre a série de Maclaurin da função Erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin da função Erro, que é definida por
Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente séries de Taylor (ou Maclaurin) e integração. Para resolver, vamos precisar expandir a função dentro da integral em uma série e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É basicamente uma expansão em série de Taylor centrada em zero. Para a função , podemos escrever sua série de Maclaurin. Sabemos que a série de Maclaurin para é:
Aqui, nosso é . Então, substituindo:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa série na integral que define a função Erro:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (isso é válido sob certas condições, que são satisfeitas aqui):

Passo 4

Vamos agora resolver a integral . A antiderivada de é . Avaliando de 0 a x:

Passo 5

Substituindo de volta na série, temos:
Simplificando, a série de Maclaurin da função Erro fica:

Resposta

A série de Maclaurin da função Erro é

Exercícios relacionados

Encontre uma série de potências, centrada em , e determine seu raio e intervalo de convergência: d)
Encontre a soma da série: c)
Usando séries de potências, prove que: c)
Usando séries de potências, prove que: d)