Encontre uma série de potências, centrada em a = 0, e determine seu raio e intervalo de convergência: c) f(x) = 3x / (1 + x - 2x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma série de potências para a função , centrada em . Além disso, precisamos descobrir qual é o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar técnicas de manipulação de séries e entender como determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa simplificar a função para conseguir expressá-la como uma série conhecida. Vamos reescrever o denominador:
Agora, queremos colocar a expressão no formato de uma série geométrica, que é mais fácil de trabalhar. Podemos rearranjar os termos:
Para facilitar, vamos tentar completar o quadrado ou fatorar o denominador, mas nessa situação, é mais simples identificar uma forma que possamos expandir em série geométrica.

Passo 3

Vamos separar os termos do denominador para expressar de maneira que possamos aplicar a série geométrica. Podemos reescrever:
Agora, o objetivo �� isolar um termo que multiplique uma expressão de série geométrica. Vamos manipular a expressão:
Podemos escrever isso como:
Agora, reconhecemos que é a série geométrica quando . Então, temos:

Passo 4

Vamos expandir o termo dentro da série:
Para simplificar, vamos manter apenas os primeiros termos ou identificar um padrão para a série resultante. No entanto, essa forma já nos dá uma série de potências centrada em 0.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o raio de convergência. Para uma série geométrica , a série converge quando .
No nosso caso, temos:
Essa desigualdade nos dá o intervalo de convergência da série. Resolva para :
Resolvendo essa inequação, encontramos os valores de para os quais a série converge. Após resolver, determinamos o raio de convergência .

Resposta

A série de potências centrada em para a função é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência, após resolver , é determinado pelos valores de que satisfazem essa condição.

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