Encontre uma série de potências, centrada em
, e determine seu raio e intervalo de convergência: c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma série de potências para a função
, centrada em
. Além disso, precisamos descobrir qual é o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar técnicas de manipulação de séries e entender como determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa simplificar a função para conseguir expressá-la como uma série conhecida. Vamos reescrever o denominador:
Agora, queremos colocar a expressão no formato de uma série geométrica, que é mais fácil de trabalhar. Podemos rearranjar os termos:
Para facilitar, vamos tentar completar o quadrado ou fatorar o denominador, mas nessa situação, é mais simples identificar uma forma que possamos expandir em série geométrica.
Passo 3
Vamos separar os termos do denominador para expressar
de maneira que possamos aplicar a série geométrica. Podemos reescrever:
Agora, o objetivo �� isolar um termo que multiplique uma expressão de série geométrica. Vamos manipular a expressão:
Podemos escrever isso como:
Agora, reconhecemos que
é a série geométrica
quando
. Então, temos:
Passo 4
Vamos expandir o termo dentro da série:
Para simplificar, vamos manter apenas os primeiros termos ou identificar um padrão para a série resultante. No entanto, essa forma já nos dá uma série de potências centrada em 0.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o raio de convergência. Para uma série geométrica
, a série converge quando
.
No nosso caso, temos:
Essa desigualdade nos dá o intervalo de convergência da série. Resolva para
:
Resolvendo essa inequação, encontramos os valores de
para os quais a série converge. Após resolver, determinamos o raio de convergência
.
Resposta
A série de potências centrada em
para a função
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência, após resolver
, é determinado pelos valores de
que satisfazem essa condição.