(a) Encontre a série de potências para a derivada e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos encontrar a série de potências para a derivada de uma função e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo como derivação de séries de potências e análise de convergência.

Passo 2

Suponha que a função seja representada por uma série de potências:
Para encontrar a derivada , derivamos termo a termo a série:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Substituímos por para ajustar os índices:
Portanto, a série de potências para é:

Passo 4

Para determinar o raio de convergência da série derivada , utilizamos o mesmo raio de convergência da série original . Isso ocorre porque a operação de derivação não altera o intervalo de convergência das séries de potências.
Se o raio de convergência da série original for , então o raio de convergência da série derivada também será .

Resposta

A série de potências para a derivada é:
E o raio de convergência dessa série é igual ao raio de convergência da série original , ou seja, .

Exercícios relacionados

(a) ( ) Se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
(b) ( ) Uma série de potências pode convegir em apenas dois valores .
© ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(d) ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(e) ( )Se é o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
(f) ( ) Se então o raio de convergência da série de potências é .
(g) ( ) Se tem raio de convergência , então as séries e também têm raio de convergência .
(a) A sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
(b) A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Prove que se for homogênea de grau , então é homogênea de grau .