(a) Encontre a série de potências para a derivada f^prime e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+12 n+1.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos encontrar a série de potências para a derivada de uma função e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo como derivação de séries de potências e análise de convergência.

Passo 2

Suponha que a função f(x) = sumn=0^+infty an x^n seja representada por uma série de potências:
f'(x) = sumn=0^+infty an ddxx^n = sumn=0^+infty an n x^n-1
Para encontrar a derivada , derivamos termo a termo a série:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Substituímos f'(x) = sumn=1^+infty an n x^n-1 = sumn=0^+infty an+1 (n+1) x^n por f'(x) = sumn=0^+infty (n+1) an+1 x^n para ajustar os índices:
Portanto, a série de potências para é:

Passo 4

Para determinar o raio de convergência da série derivada , utilizamos o mesmo raio de convergência da série original . Isso ocorre porque a operação de derivação não altera o intervalo de convergência das séries de potências.
Se o raio de convergência da série original for , então o raio de convergência da série derivada também será .

Resposta

A série de potências para a derivada f'(x) = sumn=0^+infty (n+1) an+1 x^n é:
E o raio de convergência dessa série é igual ao raio de convergência da série original , ou seja, .

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