(a) Encontre a série de potências para a derivada
e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos encontrar a série de potências para a derivada
de uma função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo como derivação de séries de potências e análise de convergência.
Passo 2
Suponha que a função
seja representada por uma série de potências:
Para encontrar a derivada
, derivamos termo a termo a série:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Substituímos
por
para ajustar os índices:
Portanto, a série de potências para
é:
Passo 4
Para determinar o raio de convergência da série derivada
, utilizamos o mesmo raio de convergência da série original
. Isso ocorre porque a operação de derivação não altera o intervalo de convergência das séries de potências.
Se o raio de convergência da série original
for
, então o raio de convergência da série derivada
também será
.
Resposta
A série de potências para a derivada
é:
E o raio de convergência dessa série é igual ao raio de convergência da série original
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
(a) ( ) Se
é convergente, então
é absolutamente convergente no intervalo
.
(b) ( ) Uma série de potências pode convegir em apenas dois valores
.
© ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(d) ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(e) ( )Se é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
.
(f) ( ) Se então o raio de convergência da série de potências
é
.
(g) ( ) Se tem raio de convergência
, então as séries
e
também têm raio de convergência
.
(b) ( ) Uma série de potências
© ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(d) ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(e) ( )Se
(f) ( ) Se
(g) ( ) Se
(a) A sequência
é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
(b) A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
(b) A série
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Prove que se
for homogênea de grau
, então
é homogênea de grau
.