(a) Encontre a série de potências para a derivada
e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos encontrar a série de potências para a derivada
de uma função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo como derivação de séries de potências e análise de convergência.
Passo 2
Suponha que a função
seja representada por uma série de potências:
Para encontrar a derivada
, derivamos termo a termo a série:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Substituímos
por
para ajustar os índices:
Portanto, a série de potências para
é:
Passo 4
Para determinar o raio de convergência da série derivada
, utilizamos o mesmo raio de convergência da série original
. Isso ocorre porque a operação de derivação não altera o intervalo de convergência das séries de potências.
Se o raio de convergência da série original
for
, então o raio de convergência da série derivada
também será
.
Resposta
A série de potências para a derivada
é:
E o raio de convergência dessa série é igual ao raio de convergência da série original
, ou seja,
.