Encontre uma série de potências de
para representar a função
e, usando o resultado, conclua que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma série de potências de
para representar a função
e, usando essa série, mostrar que o limite quando
tende a 0 de
é 0. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para a função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função
em torno de 0. A série é dada por:
Essa série nos ajuda a expressar
como uma soma infinita de potências de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a série de Taylor:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Dividindo cada termo da série por
, temos:
Então, a série de potências para
é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite
. Observando a série que encontramos:
Quando
tende a 0, todos os termos que têm
elevado a alguma potência positiva vão se aproximar de 0.
Passo 6
Portanto, cada termo da série tende a 0 quando
se aproxima de 0. Assim, o limite de
também será 0.