Encontre uma série de potências de x para representar a função f(x)=1-cos xx e, usando o resultado, conclua que lim x 0 1-cos xx=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma série de potências de para representar a função e, usando essa série, mostrar que o limite quando tende a 0 de é 0. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para a função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + dots em torno de 0. A série é dada por:
Essa série nos ajuda a expressar como uma soma infinita de potências de .

Passo 3

Agora, vamos calcular 1 - cos x = 1 - (1 - x^22! + x^44! - dots ) = x^22! - x^44! + x^66! - dots usando a série de Taylor:
f(x) = 1 - cos xx = x^22! - x^44! + x^66! - dotsx
Então, podemos escrever:

Passo 4

Dividindo cada termo da série por f(x) = x^22! cdot x - x^44! cdot x + x^66! cdot x - dots = x2! - x^34! + x^56! - dots , temos:
f(x) = x2 - x^324 + x^5720 - dots
Então, a série de potências para é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite f(x) = x2 - x^324 + x^5720 - dots . Observando a série que encontramos:
Quando tende a 0, todos os termos que têm elevado a alguma potência positiva vão se aproximar de 0.

Passo 6

Portanto, cada termo da série tende a 0 quando se aproxima de 0. Assim, o limite de também será 0.

Resposta

limx to 0 1 - cos xx = 0

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