Uma maneira de obtermos um valor aproximado de , para um dado valor de no intervalo , é usando a série binomial. Neste caso temos , de modo que
e, dependendo da situação, podemos considerar apenas os dois ou os três primeiros termos da série para a aproximação. Considerando e aproximando a série por seus três primeiros termos, encontramos:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma tarefa de matemática onde queremos encontrar um valor aproximado para quando está entre e . A gente vai usar algo chamado série binomial, que é uma maneira de expandir expressões como essa em uma soma de termos mais simples. No nosso caso, a gente vai trabalhar com e precisa usar os três primeiros termos dessa série para fazer a aproximação quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série binomial. Para uma expressão do tipo , a série binomial é dada por:
No nosso caso, , então substituindo na fórmula, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir na série. Mas atenção: a gente vai usar apenas os três primeiros termos para simplificar a conta. Então:
Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:

Passo 4

Agora, é só somar esses três termos para obter a aproximação:

Resposta

Portanto, usando a série binomial com os três primeiros termos, a aproximação de é aproximadamente 1.095.

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Encontre uma série de potências de para representar a função e, usando o resultado, conclua que .
Verifique se as integrais impróprias convergem ou divergem:
a)
Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Apenas escreva o problema de valor inicial que deve ser satisfeito pela quantidade de sal existente na solução do tanque, no fim de minutos. Não é necessário resolve-lo.
Resolva o pri