Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Apenas escreva o problema de valor inicial que deve ser satisfeito pela quantidade
de sal existente na solução do tanque, no fim de
minutos. Não é necessário resolve-lo.
Apenas escreva o problema de valor inicial que deve ser satisfeito pela quantidade
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque enorme que começa com 1 galão de água pura. Entra uma salmoura (água com sal) com 1 libra de sal por galão, na velocidade de 3 galões por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura sai do tanque a 2 galões por minuto. O conteúdo está relacionado a equações diferenciais e taxas de variação. Para resolver, vamos precisar entender como a quantidade de sal
muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as taxas de entrada e saída do sal no tanque. A salmoura que entra tem 1 libra de sal por galão e está entrando a 3 galões por minuto. Então, a taxa de entrada de sal é:
Passo 3
Agora, vamos ver a taxa de saída de sal. A mistura que sai do tanque está saindo a 2 galões por minuto. Mas para calcular a taxa de saída de sal, precisamos saber a concentração de sal no tanque naquele momento, que é
, onde
é o volume de água no tanque em tempo
.
Passo 4
Vamos determinar
, o volume de água no tanque:
Sabemos que
galão, a taxa de entrada é 3 gal/min e a taxa de saída é 2 gal/min:
Passo 5
Agora, a concentração de sal no tanque é:
Portanto, a taxa de saída de sal é:
Passo 6
Com as taxas de entrada e saída identificadas, podemos montar a equação diferencial que descreve a taxa de variação de sal no tanque:
Substituindo as taxas que calculamos:
Resposta
A equação diferencial com condição inicial é:
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Uma maneira de obtermos um valor aproximado de
, para um dado valor de
no intervalo
, é usando a série binomial. Neste caso temos
, de modo que
e, dependendo da situação, podemos considerar apenas os dois ou os três primeiros termos da série para a aproximação. Considerando
e aproximando a série por seus três primeiros termos, encontramos:
Encontre uma série de potências de
para representar a função
e, usando o resultado, conclua que
.
Resolva o pri
Resolva opri