Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do cos x e escreva a série sin x=sumk=0^infty(-1)^k x^2 k+1(2 k+1)!

Passo 1

Então, pelo enunciado, a gente precisa fazer três coisas: primeiro, escrever os 5 primeiros termos da série de ; segundo, encontrar os 5 primeiros termos dessa série; e terceiro, escrever a série de que já foi dada. Vamos usar conceitos de séries de Taylor para resolver isso. Precisamos saber como expandir as funções trigonométricas em séries infinitas.

Passo 2

Vamos começar encontrando os 5 primeiros termos da série de cos x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k(2k)! . A série de Taylor para em torno de 0 é dada por:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências pares de divididas pelo fatorial desses números.

Passo 3

Agora, vamos expandir essa série para os primeiros 5 termos substituindo (-1)^0 x^00! = 1 de 0 a 4:
  • Para (-1)^1 x^22! = -x^22 :
(-1)^2 x^44! = x^424
  • Para (-1)^3 x^66! = -x^6720 :
(-1)^4 x^88! = x^840320
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Juntando todos os termos que calculamos, os 5 primeiros termos da série de cos x approx 1 - x^22 + x^424 - x^6720 + x^840320 são:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a série de sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)! que foi fornecida no enunciado. A série de Taylor para em torno de 0 é:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências ímpares de divididas pelo fatorial desses números.

Resposta

Os 5 primeiros termos da série de cos x approx 1 - x^22 + x^424 - x^6720 + x^840320 são:
sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)!
E a série de é:

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