Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do
e escreva a série
Passo 1
Então, pelo enunciado, a gente precisa fazer três coisas: primeiro, escrever os 5 primeiros termos da série de
; segundo, encontrar os 5 primeiros termos dessa série; e terceiro, escrever a série de
que já foi dada. Vamos usar conceitos de séries de Taylor para resolver isso. Precisamos saber como expandir as funções trigonométricas em séries infinitas.
Passo 2
Vamos começar encontrando os 5 primeiros termos da série de
. A série de Taylor para
em torno de 0 é dada por:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências pares de
divididas pelo fatorial desses números.
Passo 3
Agora, vamos expandir essa série para os primeiros 5 termos substituindo
de 0 a 4:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Juntando todos os termos que calculamos, os 5 primeiros termos da série de
são:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a série de
que foi fornecida no enunciado. A série de Taylor para
em torno de 0 é:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências ímpares de
divididas pelo fatorial desses números.
Resposta
Os 5 primeiros termos da série de
são:
E a série de
é:
Exercícios relacionados
Em que intervalo de valores
(encontre
) se pode usar um polinômio de Taylor de grau 2,
, com centro em
, para aproximar o
, comentendo um erro limitado a
?
Use a série binomial para
.
Encontre séries com centro em
, ou
(quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua
.
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.