Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do e escreva a série

Passo 1

Então, pelo enunciado, a gente precisa fazer três coisas: primeiro, escrever os 5 primeiros termos da série de ; segundo, encontrar os 5 primeiros termos dessa série; e terceiro, escrever a série de que já foi dada. Vamos usar conceitos de séries de Taylor para resolver isso. Precisamos saber como expandir as funções trigonométricas em séries infinitas.

Passo 2

Vamos começar encontrando os 5 primeiros termos da série de . A série de Taylor para em torno de 0 é dada por:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências pares de divididas pelo fatorial desses números.

Passo 3

Agora, vamos expandir essa série para os primeiros 5 termos substituindo de 0 a 4:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Juntando todos os termos que calculamos, os 5 primeiros termos da série de são:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a série de que foi fornecida no enunciado. A série de Taylor para em torno de 0 é:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências ímpares de divididas pelo fatorial desses números.

Resposta

Os 5 primeiros termos da série de são:
E a série de é:

Exercícios relacionados

Em que intervalo de valores (encontre ) se pode usar um polinômio de Taylor de grau 2, , com centro em , para aproximar o , comentendo um erro limitado a ?
Use a série binomial para .
Encontre séries com centro em , ou (quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua .
Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.