Encontre as Séries de Taylor para as seguintes funções:
(d)
sobre
(d)
Passo 1
Beleza, vamos encontrar a Série de Taylor para a função
em torno de
. A Série de Taylor nos ajuda a expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular a função e suas derivadas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função em
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
:
E avaliando em
:
Então,
.
Passo 4
Vamos para a segunda derivada:
Essa derivada é constante, então:
Passo 5
Como
é um polinômio de segundo grau, todas as derivadas de ordem superior a 2 serão zero. Ou seja,
,
, e assim por diante.
Passo 6
A fórmula da Série de Taylor para uma função expandida em torno de
é:
Como as derivadas de ordem superior são zero, a série para
termina no termo de segundo grau:
Resposta
A Série de Taylor de
em torno de
é: