Encontre as Séries de Taylor para as seguintes funções:
(d) sobre

Passo 1

Beleza, vamos encontrar a Série de Taylor para a função em torno de . A Série de Taylor nos ajuda a expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular a função e suas derivadas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função em :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
E avaliando em :
Então, .

Passo 4

Vamos para a segunda derivada:
Essa derivada é constante, então:

Passo 5

Como é um polinômio de segundo grau, todas as derivadas de ordem superior a 2 serão zero. Ou seja, , , e assim por diante.

Passo 6

A fórmula da Série de Taylor para uma função expandida em torno de é:
Como as derivadas de ordem superior são zero, a série para termina no termo de segundo grau:

Resposta

A Série de Taylor de em torno de é:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas (pode utilizar todas as leis das derivadas…):
Seja a função dada por . Determinar:
Seja a função dada por . Determinar:
Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti ou Clairaut.
b) ;