Encontre a solução de:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
no intervalo
. Essa equação é do segundo grau e não homogênea, ou seja, tem uma parte que depende de
e outra que é igual a uma função externa, aqui
. Para resolver isso, a gente precisa achar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que leva em conta essa parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver essa parte, a gente vai montar a equação característica, que é uma maneira de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. A equação característica fica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, mas como não temos elas, deixamos assim.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para encontrar a solução particular (
), vamos usar o método de Variação dos Parâmetros. Esse método é útil quando o lado direito da equação (a função não homogênea) não é fácil de ajustar com métodos mais simples como o coeficiente indeterminado.
Passo 4
No método de Variação dos Parâmetros, a gente assume que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções que precisamos determinar. Para isso, a gente impõe que:
E também que:
Passo 5
Agora, a gente resolve esse sistema para encontrar
e
. Podemos montar uma matriz com os coeficientes e resolver:
Calculando o determinante (denominador) da matriz de coeficientes:
Então, as soluções para
e
ficam:
Passo 6
Agora, vamos integrar
e
para encontrar
e
:
Como estamos procurando uma solução particular, ignoramos as constantes de integração
.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.