Encontre a solução de:
c) y'' + 4y = 3 csc(2t), 0 < t < pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial no intervalo . Essa equação é do segundo grau e não homogênea, ou seja, tem uma parte que depende de e outra que é igual a uma função externa, aqui . Para resolver isso, a gente precisa achar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que leva em conta essa parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver essa parte, a gente vai montar a equação característica, que é uma maneira de transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver. A equação característica fica:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente determina com condições iniciais, mas como não temos elas, deixamos assim.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para encontrar a solução particular ( ), vamos usar o método de Variação dos Parâmetros. Esse método é útil quando o lado direito da equação (a função não homogênea) não é fácil de ajustar com métodos mais simples como o coeficiente indeterminado.

Passo 4

No método de Variação dos Parâmetros, a gente assume que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções que precisamos determinar. Para isso, a gente impõe que:
E também que:

Passo 5

Agora, a gente resolve esse sistema para encontrar e . Podemos montar uma matriz com os coeficientes e resolver:
Calculando o determinante (denominador) da matriz de coeficientes:
Então, as soluções para e ficam:

Passo 6

Agora, vamos integrar e para encontrar e :
Como estamos procurando uma solução particular, ignoramos as constantes de integração .

Passo 7

Substituindo e na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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