Para as funções f: D ⊆ R² → R abaixo, esboce o gráfico de z = f(x, y) e trace curvas de nível para a função, como indicado em cada item.
z = 6 - 2 x + 2 y, para z = 6, z = -2, z = 0, z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com uma função de duas variáveis, , que nesse caso é . O objetivo é esboçar o gráfico dessa função no espaço tridimensional e também traçar as curvas de nível para os valores de que foram indicados: 6, -2, 0 e 2. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e entender como representar funções de duas variáveis graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função linear de duas variáveis, o que significa que o gráfico dela será um plano no espaço tridimensional. A equação geral de um plano é , onde , e são constantes. No nosso caso, , e .

Passo 3

Para esboçar o gráfico do plano, vamos identificar alguns pontos que pertencem a ele. Podemos escolher valores para e e calcular o correspondente valor de .
Por exemplo:
  • Se e , então . Então, o ponto (0, 0, 6) está no plano.
  • Se e , então . Ponto (1, 0, 4) está no plano.
  • Se e , então . Ponto (0, 1, 8) está no plano.
Com esses pontos, podemos desenhar o plano no espaço tridimensional.

Passo 4

Agora, vamos às curvas de nível. As curvas de nível são as interseções do plano com planos horizontais onde assume valores específicos. Para cada valor de dado, vamos encontrar a relação entre e .
  • Para :

    Simplificando: ou
  • Para :

    Simplificando: ou
  • Para :

    Simplificando: ou
  • Para :

    Simplificando: ou

Passo 5

Cada uma dessas equações representa uma reta no plano . Ao plotar essas retas no mesmo sistema de coordenadas, teremos as curvas de nível correspondentes aos valores de escolhidos. Assim, podemos visualizar como o plano se corta com diferentes alturas no eixo , formando essas linhas.

Resposta

Resumindo, o gráfico da função é um plano inclinado no espaço tridimensional. As curvas de nível para , , e são retas no plano dadas por , , e , respectivamente. Ao desenhar essas retas, conseguimos visualizar como o plano se comporta em diferentes alturas.

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