Para as funções
abaixo, esboce o gráfico de
e trace curvas de nível para a função, como indicado em cada item.
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com uma função de duas variáveis,
, que nesse caso é
. O objetivo é esboçar o gráfico dessa função no espaço tridimensional e também traçar as curvas de nível para os valores de
que foram indicados: 6, -2, 0 e 2. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e entender como representar funções de duas variáveis graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função linear de duas variáveis, o que significa que o gráfico dela será um plano no espaço tridimensional. A equação geral de um plano é
, onde
,
e
são constantes. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para esboçar o gráfico do plano, vamos identificar alguns pontos que pertencem a ele. Podemos escolher valores para
e
e calcular o correspondente valor de
.
Por exemplo:
- Se
e , então . Então, o ponto (0, 0, 6) está no plano. - Se
e , então . Ponto (1, 0, 4) está no plano. - Se
e , então . Ponto (0, 1, 8) está no plano.
Com esses pontos, podemos desenhar o plano no espaço tridimensional.
Passo 4
Agora, vamos às curvas de nível. As curvas de nível são as interseções do plano com planos horizontais onde
assume valores específicos. Para cada valor de
dado, vamos encontrar a relação entre
e
.
-
Para
:
Simplificando:ou -
Para
:
Simplificando:ou -
Para
:
Simplificando:ou -
Para
:
Simplificando:ou
Passo 5
Cada uma dessas equações representa uma reta no plano
. Ao plotar essas retas no mesmo sistema de coordenadas, teremos as curvas de nível correspondentes aos valores de
escolhidos. Assim, podemos visualizar como o plano se corta com diferentes alturas no eixo
, formando essas linhas.
Resposta
Resumindo, o gráfico da função
é um plano inclinado no espaço tridimensional. As curvas de nível para
,
,
e
são retas no plano
dadas por
,
,
e
, respectivamente. Ao desenhar essas retas, conseguimos visualizar como o plano se comporta em diferentes alturas.