Para as funções f: D ⊆ R² → R abaixo, esboce o gráfico de z = f(x, y) e trace curvas de nível para a função, como indicado em cada item.
z = raiz(100 - 25 x^2 - 4 y^2), para z = 0 ; z = 2 ; z = 6 ; z = 10.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente precisa esboçar o gráfico da função e também desenhar as curvas de nível para os valores de , , e . Isso envolve um pouco de geometria e álgebra para entender como a função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando: . Essa é uma função que relaciona duas variáveis, e , com uma terceira variável, . Para facilitar o entendimento, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando os termos:
Essa é a equação padrão de uma elipsoide, que é uma superfície tridimensional semelhante a uma esfera, mas com diferentes “raios” em cada direção.

Passo 3

Agora, vamos identificar os semi-eixos da elipsoide. A equação padrão de uma elipsoide é:
Comparando com a nossa equa�o:
Simplificando:
Portanto, os semi-eixos são:
  • (na direção )
  • (na direção )
  • (na direção )

Passo 4

Vamos agora falar sobre as curvas de nível. As curvas de nível são as intersecções da superfície com planos horizontais (planos de constante). Para cada valor de , substituímos na equação original para encontrar a equação da curva no plano .
Vamos fazer isso para cada valor de :

Para :

Substituindo na equação :
Rearranjando:
Dividindo tudo por 100:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos de 2 e 5 nas direções e , respectivamente.

Para :

Dividindo por 96:
Outra elipse, mas agora com semi-eixos menores.

Para :

Dividindo por 64:
Mais uma elipse, cada vez menor.

Para :

A única solução possível é e , ou seja, o ponto .

Resposta

Então, o gráfico de é uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 2, 5 e 10 nas direções , e , respectivamente. As curvas de nível para , , e são elipses de diferentes tamanhos no plano , diminuindo à medida que aumenta, culminando no ponto para .

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