Para as funções
abaixo, esboce o gráfico de
e trace curvas de nível para a função, como indicado em cada item.
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente precisa esboçar o gráfico da função
e também desenhar as curvas de nível para os valores de
,
,
e
. Isso envolve um pouco de geometria e álgebra para entender como a função se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando:
. Essa é uma função que relaciona duas variáveis,
e
, com uma terceira variável,
. Para facilitar o entendimento, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando os termos:
Essa é a equação padrão de uma elipsoide, que é uma superfície tridimensional semelhante a uma esfera, mas com diferentes “raios” em cada direção.
Passo 3
Agora, vamos identificar os semi-eixos da elipsoide. A equação padrão de uma elipsoide é:
Comparando com a nossa equa�o:
Simplificando:
Portanto, os semi-eixos são:
-
(na direção ) -
(na direção ) -
(na direção )
Passo 4
Vamos agora falar sobre as curvas de nível. As curvas de nível são as intersecções da superfície com planos horizontais (planos de
constante). Para cada valor de
, substituímos na equação original para encontrar a equação da curva no plano
.
Vamos fazer isso para cada valor de
:
Para
:
Substituindo na equação
:
Rearranjando:
Dividindo tudo por 100:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos de 2 e 5 nas direções
e
, respectivamente.
Para
:
Dividindo por 96:
Outra elipse, mas agora com semi-eixos menores.
Para
:
Dividindo por 64:
Mais uma elipse, cada vez menor.
Para
:
A única solução possível é
e
, ou seja, o ponto
.
Resposta
Então, o gráfico de
é uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 2, 5 e 10 nas direções
,
e
, respectivamente. As curvas de nível para
,
,
e
são elipses de diferentes tamanhos no plano
, diminuindo à medida que
aumenta, culminando no ponto
para
.