Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
a. x^prime=(cc1 & -4 4 & -7) x x(0)=binom32

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais lineares com uma condição inicial. Especificamente, temos:
x' = 1 & -4 4 & -7 x com x(0) = 3 2
Nosso objetivo é encontrar a função que resolve esse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz 1 & -4 4 & -7 . Os autovalores são valores de det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
det 1 - lambda & -4 4 & -7 - lambda = (1 - lambda)(-7 - lambda) - (-4)(4)
Calculando o determinante:
(1 - lambda)(-7 - lambda) + 16 = 0
Simplificando:
lambda^2 + 6lambda + 9 = 0
lambda = -6 pm raiz36 - 362 = -62 = -3
Agora, resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos um autovalor múltiplo: .

Passo 3

Agora que sabemos que A + 3I = 1+3 & -4 4 & -7+3 = 4 & -4 4 & -4 é um autovalor, vamos encontrar o autovetor correspondente. Para isso, resolvemos 4v1 - 4v2 = 0 Rightarrow v1 = v2 :
1 1
Isso nos dá o sistema:
Podemos escolher, por exemplo, .

Passo 4

Como temos um autovalor repetido e apenas um autovetor, precisamos encontrar uma solução generalizada. A solução geral do sistema será:
x(t) = c1 e^-3t 1 1 + c2 e^-3t ( t 1 1 + a b )
Onde a b e são constantes que vamos determinar usando a condição inicial, e é o vetor adicional que encontramos para a solução generalizada.

Passo 5

Aplicando a condição inicial 3 2 :
x(0) = c1 1 1 + c2 a b = 3 2
Isso nos dá o sistema de equações:
c1 + c2 a = 3
c1 + c2 b = 2
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e .

Resposta

Após resolver todos os passos, a solução do sistema é:
x(t) = e^-3t ( 3 1 1 + 0 -1 + t 1 1 )
Ou, de forma mais simplificada:
x(t) = e^-3t 3 + t 2 + t

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