Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
a.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais lineares com uma condição inicial. Especificamente, temos:
Nosso objetivo é encontrar a função
que resolve esse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Agora, resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos um autovalor múltiplo:
.
Passo 3
Agora que sabemos que
é um autovalor, vamos encontrar o autovetor correspondente. Para isso, resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Podemos escolher, por exemplo,
.
Passo 4
Como temos um autovalor repetido e apenas um autovetor, precisamos encontrar uma solução generalizada. A solução geral do sistema será:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando a condição inicial, e
é o vetor adicional que encontramos para a solução generalizada.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de
e
.
Resposta
Após resolver todos os passos, a solução do sistema é:
Ou, de forma mais simplificada:
Exercícios relacionados
Considerando as matrizes
e
calcule:
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e
calcule:
Calcule as seguintes somas e diferenças: