Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais lineares com uma condição inicial. Especificamente, temos:
Nosso objetivo é encontrar a função que resolve esse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Agora, resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos um autovalor múltiplo: .

Passo 3

Agora que sabemos que é um autovalor, vamos encontrar o autovetor correspondente. Para isso, resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Podemos escolher, por exemplo, .

Passo 4

Como temos um autovalor repetido e apenas um autovetor, precisamos encontrar uma solução generalizada. A solução geral do sistema será:
Onde e são constantes que vamos determinar usando a condição inicial, e é o vetor adicional que encontramos para a solução generalizada.

Passo 5

Aplicando a condição inicial :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e .

Resposta

Após resolver todos os passos, a solução do sistema é:
Ou, de forma mais simplificada:

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Considerando as matrizes e calcule:
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Calcule as seguintes somas e diferenças: