Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais representado por:
Esse tipo de problema está no conteúdo de sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz que está multiplicando o vetor . Esses elementos são essenciais para construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios ( ) da matriz:
Os valores próprios são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular:
Simplificando:
Então, a equação característica é:

Passo 3

Com o valor próprio , agora vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Para isso, resolvemos:
Então:
Isso nos dá o sistema:
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 3:
Vamos escolher , então . Portanto, o vetor próprio é:

Passo 4

Como o valor próprio é uma raiz dupla, precisamos verificar se existe um vetor generalizado para obter a solução completa. Para isso, resolvemos:
Já que é tal que (visto que é raiz dupla e a matriz é 2x2), qualquer vetor será solucionado, indicando que temos uma solução generalizada.
Vamos então assumir uma solução da forma:
Como , , então:
Mas precisamos de tal que :
Resolvendo:
Isso nos dá:
Simplificando a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
A equação fica:
Isso significa que pode ser qualquer valor. Vamos escolher , então . Portanto, o vetor generalizado é:

Passo 5

Agora, montamos a solução geral usando os vetores encontrados:
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial :
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, já sabemos que . Substituindo na primeira:

Resposta

Substituindo os valores de e na solução geral:
Então, a solução do problema inicial é:

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Ex. : , onde e .
Descreva o gráfico das seguintes funções.