Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais representado por:
Esse tipo de problema está no conteúdo de sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz que está multiplicando o vetor
. Esses elementos são essenciais para construir a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios (
) da matriz:
Os valores próprios são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular:
Simplificando:
Então, a equação característica é:
Passo 3
Com o valor próprio
, agora vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Para isso, resolvemos:
Então:
Isso nos dá o sistema:
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 3:
Vamos escolher
, então
. Portanto, o vetor próprio é:
Passo 4
Como o valor próprio é uma raiz dupla, precisamos verificar se existe um vetor generalizado para obter a solução completa. Para isso, resolvemos:
Já que
é tal que
(visto que
é raiz dupla e a matriz é 2x2), qualquer vetor será solucionado, indicando que temos uma solução generalizada.
Vamos então assumir uma solução da forma:
Como
,
, então:
Mas precisamos de
tal que
:
Resolvendo:
Isso nos dá:
Simplificando a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
A equação fica:
Isso significa que
pode ser qualquer valor. Vamos escolher
, então
. Portanto, o vetor generalizado é:
Passo 5
Agora, montamos a solução geral usando os vetores encontrados:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, já sabemos que
. Substituindo na primeira:
Resposta
Substituindo os valores de
e
na solução geral:
Então, a solução do problema inicial é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que a equação da reta tangente ao gráfico de
em
é
e seja
. Determine a equação da reta
, tangente ao gráfico de
em
.
Uma função
é contínua no ponto
de seu domínio quando tiver limite no ponto
e, além disso,
. Quando
não for contínua no ponto
, diremos que
é descontínua em
e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaixo se verificar:
- ou
não estiver definida no ponto ; - ou o limite de
no ponto não existir; - ou
tiver limite em , mas, o valor do limite não coincidir .
Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde
e
.
Ex. :
Descreva o gráfico das seguintes funções.