Seja uma função tal que a equação da reta tangente ao gráfico de em é e seja . Determine a equação da reta , tangente ao gráfico de em .

Passo 1

Nessa questão, queremos descobrir a equação da reta tangente à função no ponto onde . Vamos usar conceitos de derivadas e retas tangentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo na função:
Sabemos que a reta tangente a em é . Isso significa que quando :
Portanto, e assim .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é útil quando temos uma função composta.
A derivada será:
Calculando :
Então:
Para encontrar :
Sabemos que a inclinação da reta tangente a em é 2, ou seja, . Portanto:

Passo 4

Com e , podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
onde é a inclinação (neste caso, ) e é o valor de quando (neste caso, ). Assim:

Resposta

A equação da reta tangente à função em é .

Exercícios relacionados

Uma função é contínua no ponto de seu domínio quando tiver limite no ponto e, além disso, . Quando não for contínua no ponto , diremos que é descontínua em e isto ocorrerá quando ao menos uma das condições abaixo se verificar:
  • ou não estiver definida no ponto ;
  • ou o limite de no ponto não existir;
  • ou tiver limite em , mas, o valor do limite não coincidir .
Descreva o gráfico das seguintes funções.
Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde e .