O subconjunto W é subespaço de R^4, onde W é dado por
W=[cc 2 a & a+2 b 0 & a-b ] ; a, b in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto , que é definido por certas matrizes 2x2 com variáveis e , é realmente um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e as propriedades que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três coisas:
  1. Contém o zero vetorial: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto.
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas três propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o zero vetorial está em [cc 0 & 0 0 & 0 ] :
O zero vetorial em 2a = 0 Rightarrow a = 0 é representado por uma matriz onde todas as entradas são zero:
a + 2b = 0 Rightarrow 0 + 2b = 0 Rightarrow b = 0
Vamos ver se conseguimos encontrar valores de 0 = 0 e a - b = 0 Rightarrow 0 - 0 = 0 que fazem essa matriz pertencer a .
Igualando as entradas:
Portanto, com e , a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificando se A = [cc 2a & a + 2b 0 & a - b ], B = [cc 2c & c + 2d 0 & c - d ] é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A + B = [cc 2a + 2c & (a + 2b) + (c + 2d) 0 + 0 & (a - b) + (c - d) ] = [cc 2(a + c) & (a + c) + 2(b + d) 0 & (a + c) - (b + d) ] :
a' = a + c, b' = b + d
Onde .
Somando e :
Observamos que a soma pode ser escrita na forma de uma matriz de , onde:
Portanto, está em , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se A = [cc 2a & a + 2b 0 & a - b ] é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em kA = [cc 2ka & k(a + 2b) 0 & k(a - b) ] = [cc 2(ka) & (ka) + 2(kb) 0 & (ka) - (kb) ] :
a' = ka, b' = kb
E um escalar .
Multiplicando por :
Observamos que também pode ser escrita na forma de uma matriz de , onde:
Portanto, está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço de .

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