O subconjunto é subespaço de , onde é dado por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto , que é definido por certas matrizes 2x2 com variáveis e , é realmente um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e as propriedades que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três coisas:
  1. Contém o zero vetorial: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto.
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas três propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o zero vetorial está em :
O zero vetorial em é representado por uma matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos ver se conseguimos encontrar valores de e que fazem essa matriz pertencer a .
Igualando as entradas:
Portanto, com e , a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Onde .
Somando e :
Observamos que a soma pode ser escrita na forma de uma matriz de , onde:
Portanto, está em , mostrando que é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em :
E um escalar .
Multiplicando por :
Observamos que também pode ser escrita na forma de uma matriz de , onde:
Portanto, está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço de .

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