O subconjunto
é subespaço de
, onde
é dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto
, que é definido por certas matrizes 2x2 com variáveis
e
, é realmente um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e as propriedades que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
precisa satisfazer três coisas:
- Contém o zero vetorial: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto.
- É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas três propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o zero vetorial está em
:
O zero vetorial em
é representado por uma matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos ver se conseguimos encontrar valores de
e
que fazem essa matriz pertencer a
.
Igualando as entradas:
Portanto, com
e
, a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Onde
.
Somando
e
:
Observamos que a soma
pode ser escrita na forma de uma matriz de
, onde:
Portanto,
está em
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em
:
E um escalar
.
Multiplicando
por
:
Observamos que
também pode ser escrita na forma de uma matriz de
, onde:
Portanto,
está em
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.