Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condições iniciais. A equação dada é
com as condições
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Isso significa que estamos procurando funções
cuja segunda derivada mais três vezes a primeira derivada seja zero.
Passo 3
Para resolver, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação original:
Como
nunca é zero, temos que:
Passo 5
Resolvemos a equação característica
:
Passo 6
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro,
:
Passo 8
A segunda condição é
. Calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 9
Substituímos
na equação
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: