Encontre a solução de cada p.v.i. dado: y'' + 3y' = 0, y(0) = 2, y'(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condições iniciais. A equação dada é com as condições e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Isso significa que estamos procurando funções cuja segunda derivada mais três vezes a primeira derivada seja zero.

Passo 3

Para resolver, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação:

Passo 4

Substituindo , e na equação original:
Como nunca é zero, temos que:

Passo 5

Resolvemos a equação característica :

Passo 6

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial homogênea é:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, :

Passo 8

A segunda condição é . Calculamos a derivada de :
Aplicando :

Passo 9

Substituímos na equação :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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