Verifique se as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem o conjunto fundamental de soluções?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as funções e são soluções da equação diferencial . Além disso, temos que descobrir se essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como verificar se funções são soluções e se são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se é realmente uma solução da equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de e substituir na equação.
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na equação diferencial:
Como a equação se iguala a zero, é de fato uma solução da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é uma solução da mesma equação diferencial. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Assim, também satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora que já sabemos que ambas as funções são soluções, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, verificamos se são linearmente independentes. A forma mais comum de fazer isso é usando o Wronskiano.
O Wronskiano de duas funções e é dado por:
Calculando para nossas funções:
Como o Wronskiano é zero, as funções e são linearmente dependentes. Isso significa que elas não são independentes e, portanto, não formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

As funções e são soluções da equação diferencial dada, mas não constituem um conjunto fundamental de soluções porque são linearmente dependentes.

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(f) ,