Encontre a solução geral de cada equação a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo que vamos precisar aqui é de equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular dessa equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos uma solução da forma .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica . Testando raízes racionais, tentamos :
Então, é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, fatoramos:
Resolvendo :
Então, as raízes são , e (repetida).

Passo 5

Com as raízes (multiplicidade 2) e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Como o termo do lado direito já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por para evitar duplicação. Então, tentamos:

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , , e na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes. Após simplificar, encontramos os valores de e .

Passo 9

Resolvendo, obtemos e . Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é
onde , e são constantes arbitrárias.

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