Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo que vamos precisar aqui é de equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular dessa equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos uma solução da forma
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
. Testando raízes racionais, tentamos
:
Então,
é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, fatoramos:
Resolvendo
:
Então, as raízes são
,
e
(repetida).
Passo 5
Com as raízes
(multiplicidade 2) e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Como o termo do lado direito já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por
para evitar duplicação. Então, tentamos:
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
,
,
e
na equação original e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes. Após simplificar, encontramos os valores de
e
.
Passo 9
Resolvendo, obtemos
e
. Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir: