Encontre a solução geral de cada equação a seguir:

Passo 1

Bora lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução da parte homogênea e uma solução particular para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos achar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Como é negativo, as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo forçado é , e já aparece na solução homogênea, a gente multiplica por para evitar duplicidade. Então, tentamos:
Derivando :
Substituindo , e na equação original e igualando os coeficientes de e , resolvemos para e . Após simplificar, encontramos:
Então, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação:

Resposta

A solução geral da equação é:

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