Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Passo 1
Bora lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução da parte homogênea e uma solução particular para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos achar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Como
é negativo, as raízes são complexas:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo forçado é
, e já aparece na solução homogênea, a gente multiplica por
para evitar duplicidade. Então, tentamos:
Derivando
:
Substituindo
,
e
na equação original e igualando os coeficientes de
e
, resolvemos para
e
. Após simplificar, encontramos:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação é:
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