Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a solução geral da equação diferencial homogênea
. Para isso, vamos montar a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
por
. Então temos:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica para encontrar as raízes:
São raízes complexas conjugadas.
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
.
Passo 6
Então, a solução geral fica:
Passo 7
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 8
Primeira condição:
.
Substituindo na solução geral:
Substituindo
Passo 9
Segunda condição:
.
Primeiro, vamos derivar :
Primeiro, vamos derivar
Substituindo
:
Resposta
A solução do PVI é:
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