Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: com as condições iniciais e . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a solução geral da equação diferencial homogênea . Para isso, vamos montar a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo por . Então temos:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica para encontrar as raízes:
São raízes complexas conjugadas.

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e .

Passo 6

Então, a solução geral fica:

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .

Passo 8

Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:

Passo 9

Segunda condição: .
Primeiro, vamos derivar :
Substituindo :

Resposta

A solução do PVI é:

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