Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver o seguinte problema de valor inicial (PVI):
Esse é um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), mais especificamente de equações lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Vamos precisar conhecer como resolver a equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea relacionada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral para resolver esse tipo de equação é encontrar as soluções da equação característica.

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Sabemos que , então a equação fica:
Vamos procurar uma solução particular para cada termo no lado direito da equação.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a solução particular para .
A função é conhecida, e sabemos que sua integral está relacionada com a tangente. Então, vamos assumir uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Fatorando :
Isso não nos dá uma solução direta, então precisamos tentar outra abordagem. Vamos usar a variação de parâmetros.

Passo 6

Usando variação de parâmetros, assumimos que a solução particular é da forma:
Onde e são funções a serem determinadas.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original e igualando os termos, resolvemos para e .
Após os cálculos, encontramos:
Então, a solução particular é:

Passo 7

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo e :

Resposta

A solução do PVI é:

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