Encontre a solução de cada PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! O problema aqui é encontrar a solução da equação diferencial de ordem três com condições iniciais. Vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) para resolver isso. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear de ordem três com coeficientes constantes e um termo não homogêneo .

Passo 3

Vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Para isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Isso nos dá as raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo não homogêneo é , vamos supor uma solução da forma:

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Isso resulta em uma inconsistência, então precisamos ajustar nossa suposição.

Passo 8

Como a tentativa anterior não funcionou, vamos tentar uma solução particular de segundo grau:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Comparando os termos, temos:
Portanto, pode ser qualquer valor, mas podemos tomar para simplificar.

Passo 9

A solução particular encontrada é:

Passo 10

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de , e :
Substituindo na solução geral:
Derivando :
Substituindo :
Derivando novamente:
Substituindo :
Com , temos:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do PVI é:

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