Beleza, vamos resolver esse PVI juntos! O problema aqui é encontrar a solução da equação diferencial de ordem três com condições iniciais. Vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) para resolver isso. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear de ordem três com coeficientes constantes e um termo não homogêneo .
Passo 3
Vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Para isso, encontramos a equação característica associada:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , e são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo não homogêneo é , vamos supor uma solução da forma:
Passo 7
Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Isso resulta em uma inconsistência, então precisamos ajustar nossa suposição.
Passo 8
Como a tentativa anterior não funcionou, vamos tentar uma solução particular de segundo grau:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Comparando os termos, temos:
Portanto, pode ser qualquer valor, mas podemos tomar para simplificar.
Passo 9
A solução particular encontrada é:
Passo 10
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de , e :