Encontre a solução de cada PVI: y' + 3y = 18t, y(0) = 5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você me enviou. A gente precisa encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI) que é dado por:
Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os componentes:
Aqui, é a derivada de em relação a , é o coeficiente de , e é a função que está do lado direito.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante. Isso é essencial para resolver equações lineares. O fator integrante é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica o lado esquerdo da equação para a derivada do produto :

Passo 5

Com isso, a equação fica fácil de integrar. Vamos integrar ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

Para integrar , vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Então,

Passo 7

Voltando à equação integrada:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para resolver para :

Passo 8

Por último, usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :

Resposta

A solução do PVI é:

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