Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você me enviou. A gente precisa encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI) que é dado por:
Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os componentes:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
,
é o coeficiente de
, e
é a função que está do lado direito.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. Isso é essencial para resolver equações lineares. O fator integrante
é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica o lado esquerdo da equação para a derivada do produto
:
Passo 5
Com isso, a equação fica fácil de integrar. Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
Para integrar
, vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Então,
Passo 7
Voltando à equação integrada:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 8
Por último, usamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Resposta
A solução do PVI é: