Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a equação é exata e encontrar suas curvas integrais. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar a solução geral dela.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de identificar os termos. A equação dada pode ser escrita como:
Aqui, identifiquei
e .
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é, de fato, exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A curva integral da equação é dada por:
onde
é uma constante real.