Verifique que as equações abaixo são exatas e encontre suas curvas integrais: e^x cos(y) - (e^x sen(y)) y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a equação é exata e encontrar suas curvas integrais. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar a solução geral dela.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de identificar os termos. A equação dada pode ser escrita como:
Aqui, identifiquei e .

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x.
Calculando :
Calculando :
Como , a equação é, de fato, exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
Vamos integrar M em relação a x para encontrar F(x, y):
Aqui, é uma função de y que surge da integração.

Passo 5

Para determinar , derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A curva integral da equação é dada por:
onde C é uma constante real.

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