Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
d y/dx + y^2 - (1 + 2 e^x) y + e^(2 x) = 0, y1(x) = e^x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial:
Além disso, já nos dão uma solução particular: . Vamos precisar usar essa informação para encontrar a solução geral. A matéria que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais Riccati, que são equações do tipo . Para resolver, podemos fazer uma substituição que transforma a Riccati em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para ficar no formato da equação de Riccati:
Aqui, temos:

Passo 3

Sabemos que uma solução particular é . Vamos usar essa solução para fazer uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Onde é uma nova função que vamos determinar.

Passo 4

Vamos substituir na equação diferencial original:
Agora, vamos calcular a derivada:

Passo 5

Substituindo tudo de volta na equação:
Vamos expandir os termos quadrados e simplificar:
Simplificando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:

Passo 6

Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Rearranjando:

Passo 7

Agora temos uma equação diferencial linear simples:
Vamos resolver essa equação. A solução de uma equação linear do tipo é dada por:
Aqui, e . Então:
Calculando a integral:

Passo 8

Lembrando que fizemos a substituição , substituímos :
Simplificando:
Mas isso pode ser simplificado melhor. Vamos voltar à expressão:
Pode ser reescrita como:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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