Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial:
Além disso, já nos dão uma solução particular:
. Vamos precisar usar essa informação para encontrar a solução geral. A matéria que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais Riccati, que são equações do tipo
. Para resolver, podemos fazer uma substituição que transforma a Riccati em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para ficar no formato da equação de Riccati:
Aqui, temos:
Passo 3
Sabemos que uma solução particular é
. Vamos usar essa solução para fazer uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Onde
é uma nova função que vamos determinar.
Passo 4
Vamos substituir
na equação diferencial original:
Agora, vamos calcular a derivada:
Passo 5
Substituindo tudo de volta na equação:
Vamos expandir os termos quadrados e simplificar:
Simplificando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Passo 6
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial linear simples:
Vamos resolver essa equação. A solução de uma equação linear do tipo
é dada por:
Aqui,
e
. Então:
Calculando a integral:
Passo 8
Lembrando que fizemos a substituição
, substituímos
:
Simplificando:
Mas isso pode ser simplificado melhor. Vamos voltar à expressão:
Pode ser reescrita como:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.