Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve a diferenciação de produtos vetoriais. O enunciado pede para demonstrar que a derivada do produto vetorial de duas funções vetoriais e é igual à soma do produto vetorial da derivada de com e com a derivada de . Depois, vamos aplicar essa regra às funções específicas dadas no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra da derivada do produto vetorial. Para duas funções vetoriais e , a derivada do produto vetorial é dada por:
Essa regra é semelhante à derivada do produto de funções escalares, onde aplicamos a derivada em cada função separadamente e somamos os resultados.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções e dadas:
Precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Aplicando a regra da derivada do produto vetorial:
Vamos calcular cada um dos produtos vetoriais separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculamos :
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Passo 7
Agora, calculamos :
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Passo 8
Agora, somamos os dois resultados obtidos nos passos 6 e 7:
Isso significa que vamos somar componente por componente os vetores obtidos.