Sejam duas funções vetoriais u(t) e v(t), demonstre que
d/dt [u(t) x v(t)] = u'(t) x v(t) + u(t) x v'(t)
Agora sendo u(t) = (sen t, cos t, t) e v(t) = (t, t cos(t), sen(t)) determine d/dt [u(t) × v(t)].

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve a diferenciação de produtos vetoriais. O enunciado pede para demonstrar que a derivada do produto vetorial de duas funções vetoriais u(t) e v(t) é igual à soma do produto vetorial da derivada de u(t) com v(t) e u(t) com a derivada de v(t). Depois, vamos aplicar essa regra às funções específicas dadas no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da derivada do produto vetorial. Para duas funções vetoriais u(t) e v(t), a derivada do produto vetorial é dada por:
Essa regra é semelhante à derivada do produto de funções escalares, onde aplicamos a derivada em cada função separadamente e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções u(t) e v(t) dadas:
Precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a t.

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Aplicando a regra da derivada do produto vetorial:
Vamos calcular cada um dos produtos vetoriais separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos :
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Passo 7

Agora, calculamos :
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Passo 8

Agora, somamos os dois resultados obtidos nos passos 6 e 7:
Isso significa que vamos somar componente por componente os vetores obtidos.

Passo 9

Somando as componentes i, j e k:
  • Componente i:
  • Componente j:
  • Componente k:

Passo 10

Simplificando cada componente:
  • Componente i:
  • Componente j:
  • Componente k:

Resposta

Portanto, a derivada do produto vetorial é:

Exercícios relacionados