Sejam duas funções vetoriais e , demonstre que
Agora sendo e determine .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve a diferenciação de produtos vetoriais. O enunciado pede para demonstrar que a derivada do produto vetorial de duas funções vetoriais e é igual à soma do produto vetorial da derivada de com e com a derivada de . Depois, vamos aplicar essa regra às funções específicas dadas no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da derivada do produto vetorial. Para duas funções vetoriais e , a derivada do produto vetorial é dada por:
Essa regra é semelhante à derivada do produto de funções escalares, onde aplicamos a derivada em cada função separadamente e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e dadas:
Precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Aplicando a regra da derivada do produto vetorial:
Vamos calcular cada um dos produtos vetoriais separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculamos :
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Passo 7

Agora, calculamos :
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Passo 8

Agora, somamos os dois resultados obtidos nos passos 6 e 7:
Isso significa que vamos somar componente por componente os vetores obtidos.

Passo 9

Somando as componentes , e :
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :

Passo 10

Simplificando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :

Resposta

Portanto, a derivada do produto vetorial é:

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d)
Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
e)
Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
.