Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial
com
variando de
a
. Isso significa que estamos lidando com uma parábola, especificamente uma elipse. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas
e
funcionam e como elas afetam a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da equação vetorial. A primeira coordenada é
, que significa que o valor de
varia entre
e
à medida que
varia de
a
. A segunda coordenada é
, então o valor de
varia entre
e
para o mesmo intervalo de
. Isso indica que a curva vai se estender mais no eixo
do que no eixo
, formando uma elipse.
Passo 3
Agora, sabemos que uma elipse padrão tem a forma
, onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação, vejo que
e
. Isso significa que a elipse terá seu maior comprimento no eixo
, de
a
, e seu menor comprimento no eixo
, de
a
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, traçamos uma elipse centrada na origem
, com o eixo maior horizontal de
a
e o eixo menor vertical de
a
. Agora, precisamos indicar a direção em que o parâmetro
cresce. Quando
,
e
, então o ponto começa em
. À medida que aumentamos
, o ponto se move para cima, para a esquerda, para baixo e volta para a direita, completando o ciclo no sentido anti-horário.
Resposta
O gráfico da curva
é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento
no eixo
e semi-eixo menor de comprimento
no eixo
. A direção de crescimento do parâmetro
segue o sentido anti-horário, começando no ponto
.
Exercícios relacionados
Sejam duas funções vetoriais
e
, demonstre que
Agora sendo
e
determine
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d)
d)
Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
.
Encontre uma solução em série de potências da equação de Airy
em torno de
.