Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial com variando de a . Isso significa que estamos lidando com uma parábola, especificamente uma elipse. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas e funcionam e como elas afetam a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da equação vetorial. A primeira coordenada é , que significa que o valor de varia entre e à medida que varia de a . A segunda coordenada é , então o valor de varia entre e para o mesmo intervalo de . Isso indica que a curva vai se estender mais no eixo do que no eixo , formando uma elipse.

Passo 3

Agora, sabemos que uma elipse padrão tem a forma , onde é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação, vejo que e . Isso significa que a elipse terá seu maior comprimento no eixo , de a , e seu menor comprimento no eixo , de a .

Passo 4

Para esboçar o gráfico, traçamos uma elipse centrada na origem , com o eixo maior horizontal de a e o eixo menor vertical de a . Agora, precisamos indicar a direção em que o parâmetro cresce. Quando , e , então o ponto começa em . À medida que aumentamos , o ponto se move para cima, para a esquerda, para baixo e volta para a direita, completando o ciclo no sentido anti-horário.

Resposta

O gráfico da curva é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento no eixo e semi-eixo menor de comprimento no eixo . A direção de crescimento do parâmetro segue o sentido anti-horário, começando no ponto .

Exercícios relacionados

Sejam duas funções vetoriais e , demonstre que
Agora sendo e determine .
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
d)
Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
.
Encontre uma solução em série de potências da equação de Airy
em torno de .