Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
e) \sigma(t) = (3 \cos t, 2 \sin t), t in [0, 2 \pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial com t variando de 0 a . Isso significa que estamos lidando com uma parábola, especificamente uma elipse. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções trigonométricas cos(t) e funcionam e como elas afetam a forma da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da equação vetorial. A primeira coordenada é , que significa que o valor de x varia entre e à medida que t varia de 0 a . A segunda coordenada é , então o valor de y varia entre -2 e para o mesmo intervalo de t. Isso indica que a curva vai se estender mais no eixo x do que no eixo y, formando uma elipse.

Passo 3

Agora, sabemos que uma elipse padrão tem a forma , onde a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação, vejo que e . Isso significa que a elipse terá seu maior comprimento no eixo x, de a , e seu menor comprimento no eixo y, de -2 a .

Passo 4

Para esboçar o gráfico, traçamos uma elipse centrada na origem (0,0), com o eixo maior horizontal de a e o eixo menor vertical de -2 a . Agora, precisamos indicar a direção em que o parâmetro t cresce. Quando , e , então o ponto começa em (3,0). À medida que aumentamos t, o ponto se move para cima, para a esquerda, para baixo e volta para a direita, completando o ciclo no sentido anti-horário.

Resposta

O gráfico da curva é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento no eixo x e semi-eixo menor de comprimento no eixo y. A direção de crescimento do parâmetro t segue o sentido anti-horário, começando no ponto (3,0).

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