Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
x dy/dx + (x+1) y = x, y(ln 2) = 1, x > 0.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de equação diferencial com condição inicial:
A matéria aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o tipo da equação, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Queremos isolar :
Dividindo tudo por para facilitar:
Agora, reconhecemos que é uma equação diferencial linear da forma:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular isso:
Então,
Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula:
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabendo que :
Simplificando:
Multiplicando por :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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