Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de equação diferencial com condição inicial:
A matéria aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o tipo da equação, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Queremos isolar
:
Dividindo tudo por
para facilitar:
Agora, reconhecemos que é uma equação diferencial linear da forma:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular isso:
Então,
Como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabendo que
:
Simplificando:
Multiplicando por
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
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Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
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Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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