Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
dy/dx = (x - e^(-x)) / (y + e^y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O conteúdo aqui é equações diferenciais, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver. Basicamente, vamos separar as partes que envolvem das que envolvem para integrar cada lado de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Podemos multiplicar ambos os lados por e por para ficarmos com:
Isso coloca tudo com de um lado e tudo com de outro lado.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar antiderivadas para cada lado. Então, temos:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Começando pela integral do lado esquerdo:
Calculando cada parte:
Então, a integral do lado esquerdo fica:

Passo 5

Agora, a integral do lado direito:
Calculando cada parte:
Então, a integral do lado direito fica:

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Onde é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 7

Essa é a solução implícita da equação diferencial. Se precisarmos, podemos tentar resolver para , mas geralmente ficamos com essa forma.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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