Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo. Se necessário, faça uma mudança de variáveis apropriada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. O conteúdo aqui é equações diferenciais, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver. Basicamente, vamos separar as partes que envolvem
das que envolvem
para integrar cada lado de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Podemos multiplicar ambos os lados por
e por
para ficarmos com:
Isso coloca tudo com
de um lado e tudo com
de outro lado.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar antiderivadas para cada lado. Então, temos:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Começando pela integral do lado esquerdo:
Calculando cada parte:
Então, a integral do lado esquerdo fica:
Passo 5
Agora, a integral do lado direito:
Calculando cada parte:
Então, a integral do lado direito fica:
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Onde
é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 7
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Se precisarmos, podemos tentar resolver para
, mas geralmente ficamos com essa forma.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das seguintes equações diferenciais abaixo, diga a sua ordem e classifique em linear ou não-linear.
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Verifique se cada equação diferencial a seguir é ordinária ou parcial e se a função dada é uma solução da equação.
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Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
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Encontre a solução de cada uma das seguintes equações:
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