Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
h. { raiz(1 - x^2), x }, com x in (-1, 1).

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar o Wronskiano do conjunto de funções no intervalo . O Wronskiano é uma ferramenta que a gente usa em cálculo para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções envolvidas e aplicar a fórmula do Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do Wronskiano para duas funções e . O Wronskiano é dado por:
Isso significa que a gente precisa das derivadas de ambas as funções.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas das funções do nosso conjunto. A primeira função é . Para derivar isso, podemos reescrever a função como . Aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

A segunda função é . A derivada de em relação a é bem direta:

Passo 5

Agora que temos , , e , vamos aplicar a fórmula do Wronskiano:
Substituindo pelos valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Para juntar os termos, colocamos sobre o mesmo denominador:

Resposta

O Wronskiano do conjunto de funções no intervalo é:

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