Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
h.
.
h.
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar o Wronskiano do conjunto de funções
no intervalo
. O Wronskiano é uma ferramenta que a gente usa em cálculo para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções envolvidas e aplicar a fórmula do Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição do Wronskiano para duas funções
e
. O Wronskiano é dado por:
Isso significa que a gente precisa das derivadas de ambas as funções.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas das funções do nosso conjunto. A primeira função é
. Para derivar isso, podemos reescrever a função como
. Aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
A segunda função é
. A derivada de
em relação a
é bem direta:
Passo 5
Agora que temos
,
,
e
, vamos aplicar a fórmula do Wronskiano:
Substituindo pelos valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Para juntar os termos, colocamos sobre o mesmo denominador:
Resposta
O Wronskiano do conjunto de funções
no intervalo
é: