Suppose that
for
and that
for
. When does
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada pra resolver equações diferenciais, por exemplo. A questão nos dá duas funções,
e
, e suas respectivas transformadas de Laplace,
e
. A pergunta é: quando a transformada de Laplace da soma dessas duas funções é igual à soma das transformadas individuais, ou seja, quando
?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace tem uma propriedade chamada linearidade. Isso significa que a transformada de Laplace da soma de duas funções é igual à soma das transformadas de cada função individualmente. Matematicamente, isso é expresso como:
Então, de forma geral, essa propriedade sempre vale, certo?
Passo 3
Mas peraí, nem sempre as transformadas de Laplace existem para qualquer valor de
. Cada transformada tem uma região de convergência, que depende das funções
e
. No enunciado, foi dito que
para
e
para
.
Passo 4
Então, para que a soma das transformadas
também seja válida, precisamos que ambas as transformadas existam simultaneamente. Ou seja, o valor de
precisa ser maior que os dois valores
e
.
Passo 5
Por isso, a condição necessária é que
seja maior do que o maior entre
e
. Assim, garantimos que tanto
quanto
existam, e portanto, a soma delas também existirá.
Resposta
A igualdade
vale quando
.