Suppose that L{f1(t)}=F1(s) for s c1 and that L(f2(t)) = F2(s) for s c2. When does
L{f1(t)+f2(t)}=F1(s)+F2(s) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada pra resolver equações diferenciais, por exemplo. A questão nos dá duas funções, e , e suas respectivas transformadas de Laplace, e . A pergunta é: quando a transformada de Laplace da soma dessas duas funções é igual à soma das transformadas individuais, ou seja, quando ?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace tem uma propriedade chamada linearidade. Isso significa que a transformada de Laplace da soma de duas funções é igual à soma das transformadas de cada função individualmente. Matematicamente, isso é expresso como:
Então, de forma geral, essa propriedade sempre vale, certo?

Passo 3

Mas peraí, nem sempre as transformadas de Laplace existem para qualquer valor de . Cada transformada tem uma região de convergência, que depende das funções e . No enunciado, foi dito que para e para .

Passo 4

Então, para que a soma das transformadas também seja válida, precisamos que ambas as transformadas existam simultaneamente. Ou seja, o valor de precisa ser maior que os dois valores e .

Passo 5

Por isso, a condição necessária é que seja maior do que o maior entre e . Assim, garantimos que tanto quanto existam, e portanto, a soma delas também existirá.

Resposta

A igualdade vale quando .

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