- (Sel. Mestrado UFSM 2011/1) Considere o conjunto
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o conjunto
e precisa mostrar que o supremo desse conjunto é igual a 1. Isso está relacionado ao conceito de supremo, que é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Para resolver, vamos precisar entender o que é supremo e como encontrar limites máximos para conjuntos numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que 1 é o menor número que está acima de todos os elementos de
. Para mostrar isso, precisamos verificar duas coisas:
- 1 é um limite superior de
: ou seja, nenhum elemento de é maior que 1. - 1 é o menor limite superior: não tem nenhum número menor que 1 que também seja um limite superior de
.
Passo 3
Vamos ver se 1 é de fato um limite superior para
. Olhe só que para qualquer número natural
, o termo
é positivo. Então,
sempre será menor que 1. Portanto, nenhum elemento de
passa de 1. Assim, 1 é um limite superior para
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que 1 é o menor limite superior. Para isso, vamos ver que para qualquer número que se aproxime de 1, sempre tem elementos de
que chegam bem perto. Por exemplo, se escolhermos um número
onde
é bem pequeno, podemos encontrar um
grande o suficiente para que
seja maior que
. Isso mostra que não existe nenhum limite superior menor que 1 que funcione para todo
.
Resposta
Portanto, concluímos que
.