Resolva a equação diferencial exata utilizando o fator integrante adequado:
(x^2 - 3 x^2 y) dx = dy

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante adequado que nos ajuda a tornar a equação exata, ou seja, mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear. Dividimos ambos os lados por :
Isso nos dá:
Agora, colocamos a equação na forma:
Identificando os termos:

Passo 3

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante , que é dada por:
Calculando a integral:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso simplifica para:
Porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral à esquerda simplesmente nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos a integral do lado direito usando substituição. Seja , então , ou seja, . Substituindo:

Passo 7

Substituímos de volta na equação principal:
Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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