Resolva a equação diferencial exata utilizando o fator integrante adequado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante adequado que nos ajuda a tornar a equação exata, ou seja, mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear. Dividimos ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Agora, colocamos a equação na forma:
Identificando os termos:
Passo 3
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dada por:
Calculando a integral:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso simplifica para:
Porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda simplesmente nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos a integral do lado direito usando substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Passo 7
Substituímos de volta na equação principal:
Agora, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: