Encontre a solução da EDO
y' = 2y + e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a aplicação do fator integrante. Podemos colocar todos os termos que envolvem de um lado e o termo independente do outro:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes na equação padrão da EDO linear que é . Aqui, e .

Passo 4

Em seguida, calculamos o fator integrante, que é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 6

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Simplificando , então:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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