Encontre a solução geral da EDO
y''(t) + 2y'(t) = 1 + t^2 + t^3 + 3e^(-2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea ( ) com uma solução particular ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):
Resolvendo a equação característica:
Então, as soluções são e .

Passo 4

A solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos dividir essa equação em duas partes: polinomial e exponencial.

Passo 6

Primeiro, para o termo polinomial , assumimos uma solução particular da forma:
Onde , , , e são constantes a serem determinados.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 8

Agrupando os termos:
Então, temos:
Como não há termo constante na equação não homogênea, .

Passo 9

Agora, para o termo exponencial , que já aparece na parte homogênea, precisamos multiplicar por para evitar repetição. Então, assumimos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:

Passo 10

A solução particular total é a soma de e :

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados