Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea (
) com uma solução particular (
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Resolvendo a equação característica:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
A solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos dividir essa equação em duas partes: polinomial e exponencial.
Passo 6
Primeiro, para o termo polinomial
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
,
,
, e
são constantes a serem determinados.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 8
Agrupando os termos:
Então, temos:
Como não há termo constante na equação não homogênea,
.
Passo 9
Agora, para o termo exponencial
, que já aparece na parte homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar repetição. Então, assumimos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Passo 10
A solução particular total é a soma de
e
:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.