Encontre a solução do PVI
l y^prime(t)+2 t1-t^2 y(t)=sen(t)(1-t^2), t in[0,1) y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. A equação que temos é:
y^prime(t) + 2 t1 - t^2 y(t) = sin(t)(1 - t^2), t in [0,1)
com a condição inicial .
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt , que é dado por:
integral 2 t1 - t^2 dt
Vamos calcular a integral de integral 2 t1 - t^2 dt = -integral duu = -ln|u| + C = -ln|1 - t^2| + C :
mu(t) = e^-ln|1 - t^2| = 11 - t^2
Fazendo uma substituição , então . Assim, a integral se torna:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante 11 - t^2 y^prime + 2 t(1 - t^2)^2 y = sin(t)1 - t^2 (1 - t^2) = sin(t) :
ddt ( y(t)1 - t^2 ) = sin(t)
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a integral ddt ( y(t)1 - t^2 ) dt = integral sin(t) dt :
y(t)1 - t^2 = -cos(t) + C
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y(t) = (1 - t^2)(- cos(t) + C) :
1 = (1 - 0^2)(- cos(0) + C) Rightarrow 1 = -1 + C Rightarrow C = 2
Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = (1 - t^2)(- cos(t) + 2)

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