Encontre a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. A equação que temos é:
com a condição inicial
.
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Fazendo uma substituição
, então
. Assim, a integral se torna:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do PVI é: