Seja o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas. Quais dos subconjuntos abaixo são em .
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente verificar quais dos subconjuntos listados são linearmente independentes (LI) no espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções reais contínuas no intervalo [0,1]. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como testar isso para conjuntos de funções.

Passo 2

Antes de mergulharmos nas alternativas, vamos recapitular rapidinho o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos simples, não dá para escrever uma função do conjunto como uma combinação das outras. Para testar isso, a gente monta uma equação onde uma combinação linear das funções é igual à função zero e verifica se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 3

Vamos começar com a alternativa (a): .
Queremos ver se existe , , e tais que:
Isso precisa ser válido para todo . Vamos distribuir e juntar os termos:
Agrupando:
Como isso deve ser zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Com , a segunda equação fica e a terceira . Assim, e substituindo na segunda equação, . Portanto, a única solução é , o que significa que o conjunto é linearmente independente.

Passo 4

Agora, a alternativa (b): .
Vamos montar:
Distribuindo:
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .
Agora, na terceira equação:
Isso implica , e então e . Novamente, só a solução trivial existe, então o conjunto é linearmente independente.

Passo 5

Vamos para a alternativa ©: .
Montamos:
Expandindo :
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Com , a terceira equação dá , então . Substituindo na segunda equação:
Portanto, apenas a solução trivial existe, e o conjunto é linearmente independente.

Passo 6

Passando para a alternativa (d): .
Configurando:
Expandindo:
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Agora, na terceira equação:
Isso é verdade para qualquer . Ou seja, temos liberdade para escolher , por exemplo, :
Então, existe uma combinação não trivial que satisfaz a equação, o que significa que o conjunto não é linearmente independente.

Passo 7

Continuando com a alternativa (e): .
Vamos montar:
Distribuindo:
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Agora, na terceira equação:
O que é sempre verdade. Ou seja, existe uma relação não trivial entre , , e . Por exemplo, se , então e , satisfazendo a equação.
Portanto, o conjunto não é linearmente independente.

Passo 8

Vamos para a alternativa (f): .
Configurando:
Isso precisa valer para todo . Sabemos que e são funções exponenciais que nunca se anulam e são distintas. Vamos tentar resolver para , , e .
Rearranjando:
Essa equação deve ser verdadeira para todo , o que só é possível se . Não há combinação não trivial de e que iguale uma constante para todo .
Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Passo 9

Finalmente, a alternativa (g): .
Vamos montar:
Reescrevendo como :
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Essa equação precisa ser válida para todo . Agora, as funções , , e seus produtos não permitem que haja uma combinação linear que resulte na função zero para todo , a menos que .
Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

Os subconjuntos (a), (b), ©, (f) e (g) são linearmente independentes em . Já os subconjuntos (d) e (e) não são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Sejam e um conjunto de vetores em . Mostre que é uma base de e calcule e .
Escreva equaçōes vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo:
a) passa por e e é paralelo go vetor .
b) passa por e e é paralelo ao segmento CD , onde e
c) passa pelos pontos e .
d) passa pelos pontos e
Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que . Calcule:
(f)