Seja V=C([0,1], R) o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas. Quais dos subconjuntos abaixo são L I em V.
(a) x, x+1, x^2-1.
(b) x+5, x^2-x, x^2+x-10.
© (x+1)^2, 2 x, x+12.
(d) (x+1)^2, x^2-1, x+1.
(e) 1-x, x(1-x), 1-x^2.
(f) 1, e^x, e^-x.
(g) sen x, cos x, tan x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente verificar quais dos subconjuntos listados são linearmente independentes (LI) no espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções reais contínuas no intervalo [0,1]. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como testar isso para conjuntos de funções.

Passo 2

Antes de mergulharmos nas alternativas, vamos recapitular rapidinho o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos simples, não dá para escrever uma função do conjunto como uma combinação das outras. Para testar isso, a gente monta uma equação onde uma combinação linear das funções é igual à função zero e verifica se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 3

Vamos começar com a alternativa (a): A cdot x + B cdot (x + 1) + C cdot (x^2 - 1) = 0 .
Queremos ver se existe (A + B) cdot x + B + C cdot x^2 - C = 0 , C cdot x^2 + (A + B) cdot x + (B - C) = 0 , e tais que:
Isso precisa ser válido para todo . Vamos distribuir e juntar os termos:
Agrupando:
Como isso deve ser zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Com , a segunda equação fica e a terceira . Assim, e substituindo na segunda equação, . Portanto, a única solução é , o que significa que o conjunto é linearmente independente.

Passo 4

Agora, a alternativa (b): A cdot (x + 5) + B cdot (x^2 - x) + C cdot (x^2 + x - 10) = 0 .
Vamos montar:
A cdot x + 5A + B cdot x^2 - B cdot x + C cdot x^2 + C cdot x - 10C = 0
Distribuindo:
(B + C) cdot x^2 + (A - B + C) cdot x + (5A - 10C) = 0
Agrupando:
A - (-C) + C = A + 2C = 0
Igualando os coeficientes a zero:
  1. 5(-2C) - 10C = -10C -10C = -20C = 0
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .
Agora, na terceira equação:
Isso implica , e então e . Novamente, só a solução trivial existe, então o conjunto é linearmente independente.

Passo 5

Vamos para a alternativa ©: A cdot (x + 1)^2 + B cdot 2x + C cdot (x + 12) = 0 .
Montamos:
A cdot (x^2 + 2x + 1) + 2B x + C x + C2 = 0
Expandindo A x^2 + (2A + 2B + C) x + (A + C2) = 0 :
2B = 0 Rightarrow B = 0
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Com , a terceira equação dá , então . Substituindo na segunda equação:
Portanto, apenas a solução trivial existe, e o conjunto é linearmente independente.

Passo 6

Passando para a alternativa (d): A cdot (x + 1)^2 + B cdot (x^2 - 1) + C cdot (x + 1) = 0 .
Configurando:
A (x^2 + 2x + 1) + B x^2 - B + C x + C = 0
Expandindo:
(A + B) x^2 + (2A + C) x + (A - B + C) = 0
Agrupando:
2A + C = 0 Rightarrow C = -2A
Igualando os coeficientes a zero:
  1. A - (-A) + (-2A) = A + A - 2A = 0
  2. B = -1
  3. C = -2
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Agora, na terceira equação:
Isso é verdade para qualquer . Ou seja, temos liberdade para escolher , por exemplo, :
Então, existe uma combinação não trivial que satisfaz a equação, o que significa que o conjunto não é linearmente independente.

Passo 7

Continuando com a alternativa (e): A cdot (1 - x) + B cdot x(1 - x) + C cdot (1 - x^2) = 0 .
Vamos montar:
A - A x + B x - B x^2 + C - C x^2 = 0
Distribuindo:
(-B - C) x^2 + (-A + B) x + (A + C) = 0
Agrupando:
-A - C = 0 Rightarrow C = -A
Igualando os coeficientes a zero:
  1. A + (-A) = 0
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Agora, na terceira equação:
O que é sempre verdade. Ou seja, existe uma relação não trivial entre , , e . Por exemplo, se , então e , satisfazendo a equação.
Portanto, o conjunto não é linearmente independente.

Passo 8

Vamos para a alternativa (f): A cdot 1 + B cdot e^x + C cdot e^-x = 0 .
Configurando:
B e^x + C e^-x = -A
Isso precisa valer para todo . Sabemos que e são funções exponenciais que nunca se anulam e são distintas. Vamos tentar resolver para , , e .
Rearranjando:
Essa equação deve ser verdadeira para todo , o que só é possível se . Não há combinação não trivial de e que iguale uma constante para todo .
Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Passo 9

Finalmente, a alternativa (g): .
Vamos montar:
Reescrevendo A cdot sen x + B cdot cos x + C cdot tan x = 0 como :
Multiplicando tudo por A sen x + B cos x + C sen xcos x = 0 para eliminar o denominador:
Essa equação precisa ser válida para todo A sen x cos x + B cos^2 x + C sen x = 0 . Agora, as funções , , e seus produtos não permitem que haja uma combinação linear que resulte na função zero para todo , a menos que .
Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

Os subconjuntos (a), (b), ©, (f) e (g) são linearmente independentes em . Já os subconjuntos (d) e (e) não são linearmente independentes.

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