Seja
o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas. Quais dos subconjuntos abaixo são
em
.
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente verificar quais dos subconjuntos listados são linearmente independentes (LI) no espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções reais contínuas no intervalo [0,1]. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como testar isso para conjuntos de funções.
Passo 2
Antes de mergulharmos nas alternativas, vamos recapitular rapidinho o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos simples, não dá para escrever uma função do conjunto como uma combinação das outras. Para testar isso, a gente monta uma equação onde uma combinação linear das funções é igual à função zero e verifica se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 3
Vamos começar com a alternativa (a):
.
Queremos ver se existe
,
, e
tais que:
Isso precisa ser válido para todo
. Vamos distribuir e juntar os termos:
Agrupando:
Como isso deve ser zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
Com
, a segunda equação fica
e a terceira
. Assim,
e substituindo na segunda equação,
. Portanto, a única solução é
, o que significa que o conjunto é linearmente independente.
Passo 4
Agora, a alternativa (b):
.
Vamos montar:
Distribuindo:
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
.
Agora, na terceira equação:
Isso implica
, e então
e
. Novamente, só a solução trivial existe, então o conjunto é linearmente independente.
Passo 5
Vamos para a alternativa ©:
.
Montamos:
Expandindo
:
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Com
, a terceira equação dá
, então
. Substituindo na segunda equação:
Portanto, apenas a solução trivial existe, e o conjunto é linearmente independente.
Passo 6
Passando para a alternativa (d):
.
Configurando:
Expandindo:
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Agora, na terceira equação:
Isso é verdade para qualquer
. Ou seja, temos liberdade para escolher
, por exemplo,
:
Então, existe uma combinação não trivial que satisfaz a equação, o que significa que o conjunto não é linearmente independente.
Passo 7
Continuando com a alternativa (e):
.
Vamos montar:
Distribuindo:
Agrupando:
Igualando os coeficientes a zero:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Agora, na terceira equação:
O que é sempre verdade. Ou seja, existe uma relação não trivial entre
,
, e
. Por exemplo, se
, então
e
, satisfazendo a equação.
Portanto, o conjunto não é linearmente independente.
Passo 8
Vamos para a alternativa (f):
.
Configurando:
Isso precisa valer para todo
. Sabemos que
e
são funções exponenciais que nunca se anulam e são distintas. Vamos tentar resolver para
,
, e
.
Rearranjando:
Essa equação deve ser verdadeira para todo
, o que só é possível se
. Não há combinação não trivial de
e
que iguale uma constante para todo
.
Portanto, o conjunto é linearmente independente.
Passo 9
Finalmente, a alternativa (g): .
Vamos montar:
Reescrevendo
como :
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Essa equação precisa ser válida para todo
. Agora, as funções ,
, e seus produtos não permitem que haja uma combinação linear que resulte na função zero para todo
, a menos que
.
Portanto, o conjunto é linearmente independente.
Resposta
Os subconjuntos (a), (b), ©, (f) e (g) são linearmente independentes em
. Já os subconjuntos (d) e (e) não são linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Sejam
e
um conjunto de vetores em
. Mostre que
é uma base de
e calcule
e
.
Escreva equaçōes vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo:
a) passa por
e
e é paralelo go vetor
.
b) passa por
e
e é paralelo ao segmento CD , onde
e
c) passa pelos pontos
e
.
d) passa pelos pontos
e
a)
b)
c)
d)
Seja
uma matriz quadrada de ordem 3 tal que
. Calcule:
(f)
(f)