Resolva a equação de Bernoulli: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você trouxe: . Aqui, estamos lidando com uma Equação de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre essas equações e como transformá-las em formas que a gente consiga resolver mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão da Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui, podemos identificar que:
  • (considerando apenas o termo )
No entanto, temos um termo adicional que está somando 1 ao . Para simplificar, vamos considerar apenas o termo dominante , já que o 1 pode ser tratado separadamente.

Passo 3

A próxima etapa é fazer uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos usar a substituição:
Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:
Substituindo da expressão de :
Agora, dividindo tudo por :
Como , temos:
Rearranjando:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos que:
O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral , usamos integração por partes ou reconhecemos que:
Neste caso, e , então:

Passo 8

Substituindo de volta:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Passo 9

Lembrando que , então:
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre a solução da equação de Bernoulli: .
Escreva as equações a seguir na forma , determinando o centro e o raio das circunferências.
Sejam um espaço vetorial sobre com e um subconjunto não-vazio de . Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a) é um conjunto independente maximal de , no seguinte sentido: não existe subconjunto de tal que ;
(b) é um conjunto minimal de geradores de , no seguinte sentido: não existe subconjunto de geradores de tal que ;