Resolva a equação de Bernoulli: y^prime+y=(y^2+1) sin (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você trouxe: . Aqui, estamos lidando com uma Equação de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre essas equações e como transformá-las em formas que a gente consiga resolver mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão da Equação de Bernoulli, que é:
y^prime + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso, temos:
y^prime + y = (y^2 + 1) sin(x)
Aqui, podemos identificar que:
  • (considerando apenas o termo )
No entanto, temos um termo adicional que está somando 1 ao . Para simplificar, vamos considerar apenas o termo dominante , já que o 1 pode ser tratado separadamente.

Passo 3

A próxima etapa é fazer uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos usar a substituição:
z = y^1 - n = y^-1
Isso significa que z^prime = -y^primey^2 . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Vamos substituir y^prime + y = y^2 sin(x) e -z^prime y^2 + y = y^2 sin(x) na equação original:
-z^prime + 1y = sin(x)
Substituindo -z^prime + z = sin(x) da expressão de z^prime - z = -sin(x) :
Agora, dividindo tudo por :
Como , temos:
Rearranjando:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de z^prime - z = -sin(x) :
P(x) = -1
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos que:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^-integral dx = e^-x
O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-x z^prime - e^-x z = -e^-x sin(x)
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto ddx ( e^-x z ) = -e^-x sin(x) :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a e^-x z = integral -e^-x sin(x) dx + C :
integral e^ax sin(bx) dx = e^axa^2 + b^2 (a sin(bx) - b cos(bx))
Para resolver a integral integral e^-x sin(x) dx = e^-x2 (-sin(x) - cos(x)) ) + C , usamos integração por partes ou reconhecemos que:
Neste caso, e , então:

Passo 8

Substituindo de volta:
e^-x z = -e^-x2 (sin(x) + cos(x)) + C
Multiplicando ambos os lados por z = -12 (sin(x) + cos(x)) + C e^x para isolar :

Passo 9

Lembrando que 1y = -12 (sin(x) + cos(x)) + C e^x , então:
y = 1 -12 (sin(x) + cos(x)) + C e^x
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 1 -12 ( sin(x) + cos(x) ) + C e^x
onde é a constante de integração.

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