Resolva a equação de Bernoulli:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você trouxe:
. Aqui, estamos lidando com uma Equação de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre essas equações e como transformá-las em formas que a gente consiga resolver mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão da Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, temos:
Aqui, podemos identificar que:
-
-
-
(considerando apenas o termo )
No entanto, temos um termo adicional
que está somando 1 ao
. Para simplificar, vamos considerar apenas o termo dominante
, já que o 1 pode ser tratado separadamente.
Passo 3
A próxima etapa é fazer uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos usar a substituição:
Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Substituindo
da expressão de
:
Agora, dividindo tudo por
:
Como
, temos:
Rearranjando:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos que:
O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral
, usamos integração por partes ou reconhecemos que:
Neste caso,
e
, então:
Passo 8
Substituindo de volta:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 9
Lembrando que
, então:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre a solução da equação de Bernoulli:
.
Escreva as equações a seguir na forma
, determinando o centro e o raio das circunferências.
Sejam
um espaço vetorial sobre
com
e
um subconjunto não-vazio de
. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a) é um conjunto independente maximal de
, no seguinte sentido: não existe subconjunto
de
tal que
;
(b) é um conjunto minimal de geradores de
, no seguinte sentido: não existe subconjunto de geradores
de
tal que
;
(a)
(b)