Encontre a solução da equação:
d yd x+5 y=3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
d yd x + 5 y = 3 x^2
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os componentes da nossa equação na forma padrão:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 5 dx = e^5x , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^5x d yd x + 5 e^5x y = 3 x^2 e^5x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto dd x (e^5x y) = 3 x^2 e^5x :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a integral dd x (e^5x y) dx = integral 3 x^2 e^5x dx :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, podemos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma função que precisa ser integrada múltiplas vezes.

Passo 6

Após resolver a integral do lado direito, obtemos:
e^5x y = 35 x^2 e^5x - 625 x e^5x + 6125 e^5x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y = 35 x^2 - 625 x + 6125 + C e^-5x dividindo todos os termos por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 35 x^2 - 625 x + 6125 + C e^-5x
Onde é uma constante arbitrária.

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