Encontre a solução da equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os componentes da nossa equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, podemos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma função que precisa ser integrada múltiplas vezes.

Passo 6

Após resolver a integral do lado direito, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos dividindo todos os termos por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(d) ;
Resolva a seguinte equação:
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(f) ;
Resolva a equação diferencial: