Encontre a solução da equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Esse método ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos os componentes da nossa equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, podemos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma função que precisa ser integrada múltiplas vezes.
Passo 6
Após resolver a integral do lado direito, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(d) ;
(d)
Resolva a seguinte equação:
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(f) ;
(f)
Resolva a equação diferencial: