Resolva a equação diferencial:
d yd x+7 y=5 e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que é uma técnica que nos ajuda a simplificar e resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, identifique os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão , onde:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fator integrante (µ(x)). A fórmula para o fator integrante é:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Como mu(x) = e^integral 7 dx = e^7x , então:

Passo 4

Multiplique toda a equação diferencial original pelo fator integrante e^7x cdot dydx + e^7x cdot 7y = 5 e^7x cdot e^-2x :
e^7x dydx + 7 e^7x y = 5 e^5x
Isso simplifica para:

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto ddx ( e^7x y ) = 5 e^5x . Ou seja:

Passo 6

Integre ambos os lados em relação a integral ddx ( e^7x y ) dx = integral 5 e^5x dx :
e^7x y = 55 e^5x + C
Isso resulta em:
e^7x y = e^5x + C
Simplificando:

Passo 7

Agora, isole y = e^5xe^7x + C e^-7x dividindo ambos os lados por y = e^-2x + C e^-7x :
Simplificando a fração:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^-2x + C e^-7x
Onde é a constante de integração.

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