Resolva a seguinte equação:
d yd x+3x y=x^2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
dydx + 3x y = x^2
Essa equação pertence ao tema de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação. Ela está na forma padrão:
dydx + P(x) y = Q(x)
Aqui,
P(x) = 3x e Q(x) = x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, mu(x), é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular essa integral:
integral 3x dx = 3 ln|x|
Então,
mu(x) = e^3 ln|x| = |x|^3
Como estamos tratando de x positivo, podemos simplificar para:
mu(x) = x^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
x^3 cdot dydx + x^3 cdot 3x y = x^3 cdot x^2
Simplificando:
x^3 dydx + 3x^2 y = x^5

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto y cdot mu(x):
ddx(y x^3) = x^5

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx(y x^3) dx = integral x^5 dx
Isso resulta em:
y x^3 = x^66 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos y dividindo ambos os lados por x^3:
y = x^66 x^3 + Cx^3 = x^36 + Cx^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^36 + Cx^3

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