Encontre a solução da equação exata
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial exata
. Isso significa que a equação está na forma
, onde
e
. Para resolver, precisamos encontrar uma função que satisfaça essa equação, usando o conceito de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Ela é exata se existe uma função
tal que sua derivada total
. Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar essa função
.
Passo 3
Começamos integrando
em relação a
para encontrar uma parte de
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que ao derivar em relação a
, essa função desaparece.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
para relacionar com
:
Sabemos que isso deve ser igual a
. Então:
Para que isso seja válido para todos os valores de
e
, o termo
deve ser igual a
, o que só acontece se
. Mas isso não faz sentido para todos os
, então a única forma é que
. Então,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 5
Assim, a função
fica:
E a solução geral da equação diferencial exata é
, ou seja:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.