Encontre a solução da equação exata .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial exata . Isso significa que a equação está na forma , onde e . Para resolver, precisamos encontrar uma função que satisfaça essa equação, usando o conceito de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Ela é exata se existe uma função tal que sua derivada total . Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar essa função .

Passo 3

Começamos integrando em relação a para encontrar uma parte de :
Aqui, é uma função que depende só de , já que ao derivar em relação a , essa função desaparece.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a para relacionar com :
Sabemos que isso deve ser igual a . Então:
Para que isso seja válido para todos os valores de e , o termo deve ser igual a , o que só acontece se . Mas isso não faz sentido para todos os , então a única forma é que . Então, é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 5

Assim, a função fica:
E a solução geral da equação diferencial exata é , ou seja:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Resolva o sistema
usando o método de Gauss-Jordan.
Obtenha uma equação vetorial para a reta t , que passa por P e é concorrente com re s, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados):
a) s:
b) r: s:
c) s:
d) r: \left{ \quad\right.$ s: \left{ \right.$
Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(d)
Resolva a equação utilizando um fator integrante apropriado.