Encontre a solução da equação exata (x^3+y^3) d x+(3 x y) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial exata (x^3+y^3) dx + (3xy) dy = 0. Isso significa que a equação está na forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, onde M = x^3 + y^3 e N = 3xy. Para resolver, precisamos encontrar uma função que satisfaça essa equação, usando o conceito de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Ela é exata se existe uma função F(x,y) tal que sua derivada total dF = Mdx + Ndy. Isso significa que:
partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N
Nosso objetivo é encontrar essa função F(x,y).

Passo 3

Começamos integrando M em relação a x para encontrar uma parte de F(x,y):
F(x,y) = integral M , dx = integral (x^3 + y^3) dx = x^44 + y^3x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende só de y, já que ao derivar em relação a x, essa função desaparece.

Passo 4

Agora, vamos derivar F(x,y) em relação a y para relacionar com N:
partial Fpartial y = 3y^2x + h'(y)
Sabemos que isso deve ser igual a N = 3xy. Então:
3y^2x + h'(y) = 3xy
Para que isso seja válido para todos os valores de x e y, o termo 3y^2x deve ser igual a 3xy, o que só acontece se y = 1. Mas isso não faz sentido para todos os y, então a única forma é que h'(y) = 0. Então, h(y) é uma constante, que podemos chamar de C.

Passo 5

Assim, a função F(x,y) fica:
F(x,y) = x^44 + y^3x + C
E a solução geral da equação diferencial exata é F(x,y) = 0, ou seja:
x^44 + y^3x = C

Resposta

A solução geral da equação é boxeddfracx^44 + x y^3 = C, onde C é uma constante.

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