Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial exata . Isso significa que a equação está na forma , onde e . Para resolver, precisamos encontrar uma função que satisfaça essa equação, usando o conceito de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Ela é exata se existe uma função tal que sua derivada total . Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar essa função .
Passo 3
Começamos integrando em relação a para encontrar uma parte de :
Aqui, é uma função que depende só de , já que ao derivar em relação a , essa função desaparece.
Passo 4
Agora, vamos derivar em relação a para relacionar com :
Sabemos que isso deve ser igual a . Então:
Para que isso seja válido para todos os valores de e , o termo deve ser igual a , o que só acontece se . Mas isso não faz sentido para todos os , então a única forma é que . Então, é uma constante, que podemos chamar de .
Passo 5
Assim, a função fica:
E a solução geral da equação diferencial exata é , ou seja:
Resposta
A solução geral da equação é , onde é uma constante.